Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\lim \left( {2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}} \right)\)

b.  \(\lim \left( {{{\sin 3n} \over {4n}} - 1} \right)\)

c.  \(\lim {{n - 1} \over n}\)

d.  \(\lim {{n + 2} \over {n + 1}}\)

Giải:

a. Đặt  \({u_n} = 2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \left| {{u_n} - 2} \right| = {1 \over {n + 2}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \cr
& \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 2 \cr} \)

b. Đặt  \({u_n} = {{\sin 3n} \over {4n}} - 1\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \left| {{u_n} + 1} \right| = \left| {{{\sin 3n} \over {4n}}} \right| \le {1 \over {4n}}\,\text{ và }\,\lim {1 \over {4n}} = 0 \cr
& \Rightarrow \lim \left( {{u_n} + 1} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = - 1 \cr} \)

c.  \(\lim {{n - 1} \over n} = \lim \left( {1 - {1 \over n}} \right) = \lim 1 - \lim {1 \over n} = 1\)

d.  \(\lim {{n + 2} \over {n + 1}} = \lim {{n\left( {1 + {2 \over n}} \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}} = \lim {{1 + {2 \over n}} \over {1 + {1 \over n}}} = {{\lim 1 + \lim {2 \over n}} \over {\lim 1 + \lim {1 \over n}}} = {{1 + 0} \over {1 + 0}} = 1\)

Câu 6 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm \(\lim{\rm{ }}{u_n}\) với

a.  \({u_n} = {{{n^2} - 3n + 5} \over {2{n^2} - 1}}\)

b.  \({u_n} = {{ - 2{n^2} + n + 2} \over {3{n^4} + 5}}\)

c.  \({u_n} = {{\sqrt {2{n^2} - n} } \over {1 - 3{n^2}}}\)

d.  \({u_n} = {{{4^n}} \over {{{2.3}^n} + {4^n}}}\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \lim{u_n} = \lim {{{n^2}\left( {1 - {3 \over n} + {5 \over {{n^2}}}} \right)} \over {{n^2}\left( {2 - {1 \over {{n^2}}}} \right)}} = \lim {{1 - {3 \over n} + {5 \over {{n^2}}}} \over {2 - {1 \over {{n^2}}}}} \cr
& = {{\lim 1 - \lim {3 \over n} + \lim {5 \over {{n^2}}}} \over {\lim 2 - \lim {1 \over {{n^2}}}}} = {{1 - 0 + 0} \over {2 - 0}} = {1 \over 2} \cr} \)

b.

\(\lim {u_n} = \lim {{{n^4}\left( {{{ - 2} \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {{ 2} \over {{n^4}}}} \right)} \over {{n^4}\left( {3 + {5 \over {{n^4}}}} \right)}} = \lim {{{{ - 2} \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {{ 2} \over {{n^4}}}} \over {3 + {5 \over {{n^4}}}}} = {0 \over 3} = 0\)

c.

\({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}\sqrt {{2 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} } \over {{n^2}\left( {{1 \over {{n^2}}} - 3} \right)}} = \lim {{\sqrt {{2 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} } \over {{1 \over {{n^2}}} - 3}} = {0 \over { - 3}} = 0\)

d. Chia cả tử và mẫu \(u_n\) cho \(4^n\) ta được :

\(\lim {u_n} = \lim {1 \over {2.{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} + 1}} = 1\,\text{ vì }\,\lim {\left( {{3 \over 4}} \right)^n} = 0\)

Câu 7 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng dãy số (v_n) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - {{15} \over 4}\) là một cấp số nhân.

b. Tìm \(\lim u_n\).

Giải:

a. Ta có:  \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over {5}} + 3 - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over 5} - {3 \over 4}\)

Thay \({u_n} = {v_n} + {{15} \over 4}\) vào ta được  :

\({v_{n + 1}} = {1 \over 5}\left( {{v_n} + {{15} \over 4}} \right) - {3 \over 4} = {1 \over 5}{v_n},\forall n\)

Vậy (v_n) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội  \(q = {1 \over 5}\)

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {v_1} = {u_1} - {{15} \over 4} = 10 - {{15} \over 4} = {{25} \over 4} \cr
& {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{25} \over 4}.{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}} \cr
& \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = {{15} \over 4} \cr} \)

Câu 8 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₁B₁C₁,…, tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, … . Gọi p₁, p₂, ..., p_n, … và S₁, S₂, …, S_n, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

a. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

b. Tìm các tổng

\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ...\,va\,{S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)

Giải:

a. Ta có:

\({p_1} = {a \over 2} + {a \over 2} + {a \over 2} = {{3a} \over 2};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{p_2} = {{3a} \over 4} = {{3a} \over {{2^2}}},...,{p_n} = {{3a} \over {{2^n}}}\)

(chứng minh bằng qui nạp)

Vì  \(\lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\,nen\,\lim {p_n} = 0\)

Diện tích ta\) giác ABC là \(S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\). Diện tích tam giác A₁B₁C₁là  \({S_1} = {S \over 4}\)

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác 

\({A_n}{B_n}{C_n}\,la\,{S_n} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.{\left( {{1 \over 4}} \right)^n}\)

Vì  \(\lim {\left( {{1 \over 4}} \right)^n} = 0\,nen\,\lim {S_n} = 0\)

b. Ta có (p_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = {1 \over 2},\) do đó :

\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = {{{p_1}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2{p_1} = 3a\)

(S_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q' = {1 \over 4}\) do đó :

\({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = {{{S_1}} \over {1 - {1 \over 4}}} = {4 \over 3}{S_1} = {S \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Câu 9 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số :

a. \(0,444…\)

b. \(0,2121…\)

c. \(0,32111…\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& 0,444... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... \cr
& = {4 \over {10}} + {4 \over {{{10}^2}}} + {4 \over {{{10}^3}}} + ... \cr
& = 4\left( {{1 \over {10}} + {1 \over {{{10}^2}}} + ...} \right) \cr
& = 4.{{{1 \over {10}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = {4 \over 9} \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& 0,2121... = 0,21 + 0,0021 + ... \cr
& = {{21} \over {{{10}^2}}} + {{21} \over {{{10}^4}}} + ... = 21\left( {{1 \over {{{10}^2}}} + {1 \over {{{10}^4}}} + ...} \right) \cr
& = 21.{{{1 \over {{{10}^2}}}} \over {1 - {1 \over {{{10}^2}}}}} = {{21} \over {99}} = {7 \over {33}} \cr} \) .

c.

\(\eqalign{
& 0,32111... = {{32} \over {100}} + {1 \over {1000}} + {1 \over {1000}}.\left( {{1 \over {10}}} \right) + {1 \over {1000}}.{\left( {{1 \over {10}}} \right)^2} + ... \cr
& = {{32} \over {100}} + {1 \over {1000}}.{1 \over {1 - {1 \over {10}}}} = {{32} \over {100}} + {1 \over {900}} = {{289} \over {900}} \cr} \)

Câu 10 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C₁là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over 2}\), C₂là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over 4},...\) C­_nlà đường gồm \({2^n}\) nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over {{2^n}}},...\) (h. 4.2). Gọi p_n là độ dài của C_n, S_n là diện tích hình  phẳng giới hạn bởi  và đoạn thẳng AB.

a. Tính p_n và S_n.

b. Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S­_n).

Giải:

a. Ta có:

\({p_n} = {2^n}.{R \over {{2^n}}}.\pi = \pi R\) với mọi n

\({S_n} = {2^n}.{\left( {{R \over {{2^n}}}} \right)^2}.{\pi \over 2} = {{\pi {R^2}} \over 2}.{1 \over {{2^n}}}\)

b.  \(\lim {p_n} = \pi R;\,\,\lim {S_n} = 0.\)

Giaibaitap.me