Câu 21 trang 151 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau :

a.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}}\)

b.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {1 \over {\sqrt {5 - x} }}\)

Giải:

a. Với \(x ≠ -1\) ta có  \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {x + 1}} = x - 4\)

Với mọi dãy số (x_n) trong khoảng \(\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) (tức \(x_n≠ -1, ∀n\)) mà \(\lim\, x_n = -1\) ta có :

\(\lim f\left( x_n \right) = \lim \left( {{x_n} - 4} \right) = - 1 - 4 = - 5\)

Vậy  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} - 3x - 4} \over {x + 1}} = - 5\)

b. Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5 - x} }}\) là \(D = (-∞ ; 5)\)

Với mọi dãy (x_n) trong khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}5} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) sao cho  \(\lim\, x_n = 1\), ta có :

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim {1 \over {\sqrt {5 - {x_n}} }} = {1 \over 2}\)

Vậy  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}  {1 \over {\sqrt {5 - x} }} = {1 \over 2}\)

Câu 22 trang 151 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos {1 \over x}\) và hai dãy số \(\left( {x{'_n}} \right),\left( {x{"_n}} \right)\) với

\(x_n' = {1 \over {2n\pi }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x''_n= {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}}\)

a. Tìm giới hạn của các dãy số  \(\left( {x_n'} \right),\left( {x_n"} \right),\left( {f\left( {x_n'} \right)} \right)\,va\,\left( {f\left( {x_n"} \right)} \right)\)

b. Tồn tại hay không  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}?\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \lim x_n' = \lim {1 \over {2n\pi }} = 0 \cr
& \lim x''_n = \lim {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}} = 0 \cr
& \lim f\left( {x{'_n}} \right) = \lim \cos 2n\pi = 1 \cr
& \lim f\left( {x{"_n}} \right) = \lim \cos \left( {2n + 1} \right){\pi \over 2} = 0 \cr} \)

b. Vì \(\lim f\left( {x{'_n}} \right) \ne \lim f\left( {x''{_n}} \right)\) nên không tồn tại  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}\)

Câu 23 trang 152 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 7x + 11} \right)\)

b.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - {x^3}} \over {\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}}\)

c.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {1 - {1 \over x}} \right)\)

d.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over {9x - {x^2}}}\)

e.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right|\)

f.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^4} + 3x - 1} \over {2{x^2} - 1}}} \)

Giải:

a.  \(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {3{x^2} + 7x + 11} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 7x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 11 \cr & = {3.2^2} + 7.2 + 11 = 37 \cr} \)

b.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - {x^3}} \over {\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^4} - 3} \right)}} = {0 \over { - 2}} = 0\)

c.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\left( {1 - {1 \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) = - 1\)

d.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over {9x - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {{\sqrt x - 3} \over { - x\left( {x - 9} \right)}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} {1 \over {x\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = - {1 \over {54}}\)

e.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 4} \right| = 1\)

f.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{{{x^4} + 3x - 1} \over {2{x^2} - 1}}} = \sqrt {{{{2^4} + 3.2 - 1} \over {{{22}^2} - 1}}} = \sqrt 3 \)

Câu 24 trang 152 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3{x^2} - x + 7} \over {2{x^3} - 1}}\)

b.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^4} + 7{x^3} - 15} \over {{x^4} + 1}}\)

c.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}}\)

d.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}}\)

Giải:

a.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3{x^2} - x + 7} \over {2{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^3}\left( {{3 \over x} - {1 \over {{x^2}}} + {7 \over {{x^3}}}} \right)} \over {{x^3}\left( {2 - {1 \over {{x^3}}}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{3 \over x} - {1 \over {{x^2}}} + {7 \over {{x^3}}}} \over {2 - {1 \over {{x^3}}}}} = {0 \over 2} = 0 \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2{x^4} + 7{x^3} - 15} \over {{x^4} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^4}\left( {2 + {7 \over x} - {{15} \over {{x^4}}}} \right)} \over {{x^4}\left( {1 + {1 \over {{x^4}}}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 + {7 \over x} - {{15} \over {{x^4}}}} \over {1 + {1 \over {{x^4}}}}} = 2 \cr} \)

c.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^3}\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {{x^3}\left( {3 - {1 \over {{x^3}}}} \right)}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}} = {1 \over 3} \cr} \)

d. Với mọi \(x < 0\), ta có:

\({{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} = {{\left| x^3 \right|\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3{x^3} - 1}} = {{ - {x^3}\sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3{x^3} - 1}} = {{ - \sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}}\)

Do đó :  

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^6} + 2} } \over {3{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 + {2 \over {{x^6}}}} } \over {3 - {1 \over {{x^3}}}}} = - {1 \over 3}\)

Câu 25 trang 152 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{{x^2} + 2x} \over {8{x^2} - x + 3}}} \)

b.  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2} - x + 2}}\)

Giải

a. Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{{x^2} + 2x} \over {8{x^2} - x + 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \root 3 \of {{{1 + {2 \over x}} \over {8 - {1 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}}} = {1 \over 2}\)

b.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2} - x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt x } \over {{x^2}\left( {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt x \left( {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}} \right)}} = 0 \cr
& \text{vì}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt x }} = 0\;\text{và}\;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {1 - {1 \over x} + {2 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr} \)

Giaibaitap.me