Câu 46 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

a. Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\,\text {và }\,g\left( x \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\).

b. Hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\)

liên tục tại điểm \(x = 2\)

c. Hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\)

gián đoạn tại điểm \(x = 1\)

Giải:

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} - x + 3} \right) = x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại điểm x₀. Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).

Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định \(D=\mathbb R\).

b. Với mọi \(x ≠ 2\), ta có:

\(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1\)

Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm \(x = 2\)

c) Với mọi  \(x ≠ 1\), ta có:

\(f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\)

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 1\)

Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) liên tục trên \(\mathbb R\)

b. Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2 ; 2];

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Giải:

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right) = x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại x₀ nên f liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

\(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\)

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi x₀ϵ (-1 ; 1), ta có :  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x₀. Do đó f liên tục trên khoảng  (-1 ; 1)

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\) , ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Nên hàm số liên tục trên khoảng  \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Mặt khác ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Câu 48 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó :

a.  \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 3x + 4} \over {2x + 1}}\)

b.  \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} \)

Giải:

a. Tập xác định của hàm số f là \(\mathbb R\) \\(\left\{ {{1 \over 2}} \right\}\) . Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và  \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)

b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

\(\left\{ {\matrix{{1 - x \ge 0} \cr {2 - x \ge 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \le 1\)

Do đó tập xác định của hàm số f là  \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) ,ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) = \sqrt {1 - {x_0}} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\) Ngoài ra

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) = 1 = f\left( 1 \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên  \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

Câu 49 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng phương trình :

\({x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0\)

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; π).

Giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right],f\left( 0 \right) = 1 > 0,f\left( \pi \right) = 1 - {\pi ^2} < 0.\) Vì \(f(0).f(1) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (0 ; π)\) sao cho \(f(c) = 0\). Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho.

Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

a. Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\,\text{ với }\,x \le 0} \cr {{x^2} + 2\,\text{ với }\,x > 0} \cr} } \right.\)

Gián đoạn tại điểm x = 0

b. Mỗi hàm số

\(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \,\text{ và }\,h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} } \right.\)

liên tục trên tập xác định của nó.

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \cr} \)

Suy ra hàm số f gián đoạn tại \(x = 0\)

b. Tập xác định của hàm số  \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

Với x₀> 3 ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 3} = \sqrt {{x_0} - 3} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Nên g liên tục trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right),\) ngoài ra :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x - 3} = 0 = g\left( 3 \right)\)

Vậy g liên tục trên  \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

*Tập xác định của hàm số 

\(h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} \,\text{ là }\,\mathbb R} \right.\)

Rõ ràng h liên tục trên \((-∞; 1)\) và trên \((1 ; +∞)\) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)

Tại x₀ = 1 ta có :

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {1 \over {x - 2}} = - 1;\cr &\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{ - 1} \over x} = - 1 \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) \cr &\Rightarrow h\,\text{ liên tục tại }x = 1 \cr} \)

Vậy h liên tục trên \(\mathbb R\). 

Câu 51 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải thích vì sao :

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\sin x - 2{\cos ^2}x + 3\) liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Hàm số \(g\left( x \right) = {{{x^3} + x\cos x + \sin x} \over {2\sin x + 3}}\) liên tục trên \(\mathbb R\)

c. Hàm số \(h\left( x \right) = {{\left( {2x + 1} \right)\sin x - {{\cos }^3}x} \over {x\sin x}}\) liên tục tại mọi điểm \(x ≠ kπ, k \in\mathbb Z\).

Giải

a. Với mọi \(x_0\in \mathbb R\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^2} = x_0^2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}\sin x= \sin {x_0}\)

\(\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)

Do đó :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 2co{s^2}x + 3} \right) \)

\(= x_0^2\sin {x_0} - 2{\cos ^2}{x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Tập xác định của g là \(\mathbb R\)

Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^3} = x_0^3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = {{x_0^3 + {x_0}\cos {x_0} + \sin {x_0}} \over {2\sin {x_0} + 3}} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số g liên tục tại mọi \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó g liên tục trên \(\mathbb R\).

c. Tương tự b, \(∀ x_0 ≠ kπ, k \in\mathbb Z\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = {{\left( {2{x_0} + 1} \right)\sin {x_0} - {{\cos }^3}{x_0}} \over {{x_0}\sin {x_0}}} = h\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số h liên tục tại mọi \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó h liên tục trên \(\mathbb R\).

Câu 52 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 3 + {1 \over {x - 2}}\) liên tục trên tập xác định của nó.

Giải:

Tập xác định D = R \ {2}

Với mọi x₀ ≠ 2, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = x_0^2 + {x_0} + 3 + {1 \over {{x_0} - 2}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Suy ra f liên tục tại mọi x₀ ≠ 2 nên f liên tục trên tập xác định

Câu 53 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng phương trình \({x^3} + x + 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.

Giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + x + 1\) liên tục trên đoạn [-1 ; 0] có \(f(-1) = -1\) và \(f(0) = 1\).

Vì \(f(-1)f(0) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (-1 ; 0)\) sao cho \(f(c) = 0\). Số c là nghiệm âm lớn hơn -1 của phương trình đã cho.

Câu 54 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over x}\, \text{ với } \,x \ne 0} \cr { - 1\,  \text{ với } \,x = 0} \cr} } \right.\)

a. Chứng tỏ rằng \(f(-1)f(2) < 0\)

b. Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 2)

c. Điều khẳng định trong b có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục hay không ?

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& f\left( { - 1} \right) = - 1 \cr
& f\left( 2 \right) = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 2 \right) < 0 \cr} \)

b. \(f(x) ≠ 0\) với mọi \(x\ne 0\)

    \(f(0)=-1\ne0\)

Do đó \(f(x)\ne 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) nên phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm.

c. Điều khẳng định trong b không mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục vì  hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in [-1 ; 2]\)

Giaibaitap.me