Câu 1 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
1+2+3+...+n=n(n+1)2 (1)
Giải:
+) Với n = 1 ta có 1=1(1+1)2 (đúng).
Vậy (1) đúng với n = 1
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có:
1+2+3+...+k=k(k+1)2
Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh :
1+2+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)2
Thật vậy ta có :
1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2
Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.
Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :
22+42+...+(2n)2=2n(n+1)(2n+1)3
Giải
+) Với n=1 ta có 22=2.2.33 (đúng).
Vậy (1) đúng với n=1
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có :
22+42+...+(2k)2=2k(k+1)(2k+1)3
+) Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh :
22+42+...+(2k)2+(2k+2)2=2(k+1)(k+2)(2k+3)3
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :
22+42+...+(2k)2+(2k+2)2=2k(k+1)(2k+1)3+(2k+2)2=2(k+1)(2k2+k+6k+6)3=2(k+1)[2k(k+2)+3(k+2)]3=2(k+1)(k+2)(2k+3)3
Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n∈N∗
Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :
1+1√2+...+1√n<2√n
Giải:
+) Với n=1 ta có 1<2√1 .
Vậy (1) đúng với n=1
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có :
1+1√2+...+1√k<2√k
+) Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh :
1+1√2+...+1√k+1√k+1<2√k+1(∗)
Theo giả thiết qui nạp ta có :
1+1√2+...+1√k+1√k+1<2√k+1√k+1
Để chứng minh (*) ta cần chứng minh
2√k+1√k+1<2√k+1
Thật vậy ta có :
2√k+1√k+1<2√k+1⇔2√k(k+1)+1<2(k+1)⇔2√k(k+1)<2k+1⇔4k(k+1)<(2k+1)2
⇔4k2+4k<4k2+4k+1
⇔0<1 (luôn đúng)
Vậy ta có (*) luôn đúng tức (1) đúng với n=k+1, do đó (1) đúng với mọi n∈N∗.
Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥2, ta luôn có đẳng thức sau :
(1−14)(1−19)...(1−1n2)=n+12n
Giải
+) Với n=2 ta có 1−14=34 (đúng). Vậy (1) đúng với n=2
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có
(1−14)(1−19)...(1−1k2)=k+12k
+) Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh :
(1−14)(1−19)...(1−1(k+1)2)=k+22(k+1)
Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :
(1−14)(1−19)...(1−1k2)(1−1(k+1)2)=k+12k(1−1(k+1)2)=k+12k.k2+2k(k+1)2=k+12k.k.(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)
Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n≥2
Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau :
1n+1+1n+2+...+12n>1324.
Giải:
+) Với n=2 ta có : 13+14=712>1324
Như vậy (1) đúng khi n=2
+) Giả sử (1) đúng khi n=k,k>2, tức là giả sử
1k+1+1k+2+...+12k>1324
+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n=k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh
1k+2+1k+3+...+12k+1+12(k+1)>1324
Thật vậy , ta có:
1k+2+1k+3+...+12k+12k+1+12(k+1)=1k+1+1k+2+...+12k+12k+1+12(k+1)−1k+1=1k+1+1k+2+...+12k+2(k+1)+2k+1−2(2k+1)2(k+1)(2k+1)=1k+1+1k+2+...+12k+12(k+1)(2k+1)>1k+1+1k+2+...+12k>1324
(theo giả thiết quy nạp)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n>1.
Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Với mỗi số nguyên dương n, đặt un=7.22n−2+32n−1 (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.
Giải:
+) Với n=1, ta có:
u1=7.22.1−2+32.1−1=7+3=10 ⋮ 5
Suy ra (1) đúng khi n=1.
+) Giả sử (1) đúng khi n=k,k∈N∗, tức là:
uk=[7.22k−2+32k−1] ⋮ 5
+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n=k+1
Thật vậy, ta có :
uk+1=7.22(k+1)−2+32(k+1)−1=4.7.22k−2+9.32k−1=4(7.22k−2+32k−1)+5.32k−1=4.uk+5.32k−1
Vì uk ⋮ 5 (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra uk+1 chia hết cho 5 ta được điều cần chứng minh.
Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho số thực x>−1. Chứng minh rằng :
(1+x)n≥1+nx (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Giải
+) Với n=1, ta có (1+x)1=1+x=1+1.x
Như vậy, ta có (1) đúng khi n=1
+) Giả sử đã có (1) đúng khi n=k,k∈N∗, tức là:
(1+x)k≥1+kx
+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n=k+1.
Thật vậy, từ giả thiết x>−1 nên (1+x)>0
Theo giả thiết qui nạp, ta có : (1+x)k≥1+kx (2)
Nhân hai vế của (2) với (1+x) ta được:
(1+x)k+1≥(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n∈N∗.
Câu 8 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Một học sinh chứng minh mệnh đề “Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu 8k+1 chia hết cho 7 thì 8k+1+1 cũng chia hết cho 7 ” như sau :
Ta có: 8k+1+1=8(8k+1)−7. Từ đây và giả thiết “8k+1 chia hết cho 7”, hiển nhiên suy ra 8k+1+1 chia hết cho 7.
Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được “8n+1 chia hết cho 7 với mọi n∈N∗ ” hay không ? Vì sao ?
Giải
Không thể kết luận “8n+1 chia hết cho 7 với mọi n∈N∗ ”, vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi n=1.
Giaibaitap.me
Giải bài tập trang 105, 106, 109 bài 2 dãy số SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 9: Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau...
Giải bài tập trang 114, 115 bài 3 cấp số cộng SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 19: Chứng minh rằng dãy số là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó...
Giải bài tập trang 120, 121, 122 bài 4 cấp số nhân SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 29: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó....
Giải bài tập trang 122, 123, 124 ôn tập chương III - Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 44: Chứng minh rằng...