Câu 1 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :

$1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}$   (1)

Giải:

+) Với n = 1 ta có $1 = {{1\left( {1 + 1} \right)} \over 2}$ (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với $n = k$, tức là ta có:

$1 + 2 + 3 + ... + k = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}$

Ta chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$ tức là phải chứng minh :

$1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}$

Thật vậy ta có :

$\eqalign{ & 1 + 2 + ... + k + \left( {k + 1} \right) \cr & = {{k\left( {k + 1} \right)} \over 2} + \left( {k + 1} \right) \cr & = {{k\left( {k + 1} \right) + 2\left( {k + 1} \right)} \over 2} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2} \cr}$

Vậy (1) đúng với $n = k + 1$ do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.

Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2} = {{2n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 3}$

Giải

+) Với $n = 1$ ta có ${2^2} = {{2.2.3} \over 3}$ (đúng).

Vậy (1) đúng với $n = 1$

+) Giả sử (1) đúng với $n = k$, tức là ta có :  

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3}$

+) Ta chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh :

${2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :

$\eqalign{ & {2^2} + {4^2} + ... + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = {{2k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 2} \right)^2} \cr & = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2}+k+ 6k + 6} \right)} \over 3} \cr & = {{2\left( {k + 1} \right)\left[ {2k\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 2} \right)} \right]} \over 3} \cr & = {{2\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} \cr}$

Vậy (1) đúng với $n = k + 1$ do đó (1) đúng với mọi $n \in\mathbb N^*$

Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, ta luôn có bất đẳng thức sau :

$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n$

Giải:

+) Với $n = 1$ ta có $1 < 2\sqrt 1$ .

Vậy (1) đúng với $n = 1$

+) Giả sử (1) đúng với $n = k$, tức là ta có :

$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k$

+) Ta chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh : 

$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \left( * \right)$

Theo giả thiết qui nạp ta có :

$1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}$

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

$2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1}$

Thật vậy ta có :

$\eqalign{ & 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} + 1 < 2\left( {k + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} < 2k + 1 \cr & \Leftrightarrow 4k\left( {k + 1} \right) < {\left( {2k + 1} \right)^2} \cr}$

$\Leftrightarrow 4{k^2} + 4k < 4{k^2} + 4k + 1$

$⇔ 0 < 1$ (luôn đúng)

Vậy ta có (*) luôn đúng  tức (1) đúng với $n = k + 1$, do đó (1) đúng với mọi $n \in \mathbb N^*$.

Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n ≥ 2$, ta luôn có đẳng thức sau :

$\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right) = {{n + 1} \over {2n}}$

Giải

+) Với $n = 2$ ta có $1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}$ (đúng). Vậy (1) đúng với $n = 2$

+) Giả sử (1) đúng với $n = k$, tức là ta có

$\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right) = {{k + 1} \over {2k}}$

+) Ta chứng minh (1) đúng với $n = k + 1$, tức là phải chứng minh :

$\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}}$

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

$\eqalign{ & \left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right)\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr & = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left( {k + 2} \right)} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}= {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr}$

Vậy (1) đúng với $n = k + 1$ do đó (1) đúng với mọi $n ≥ 2$

Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau :

${1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}.$

Giải:

+) Với $n = 2$ ta có :  ${1 \over 3} + {1 \over 4} = {7 \over {12}} > {{13} \over {24}}$

Như vậy  (1) đúng khi $n = 2$

+) Giả sử (1) đúng khi $n = k, k > 2$, tức là giả sử

${1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}$

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi $n = k + 1$, nghĩa là ta sẽ chứng minh

${1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}$

Thật vậy , ta có:

$\eqalign{ & {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} - {1 \over {k + 1}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {{2\left( {k + 1} \right) + 2k + 1 - 2\left( {2k + 1} \right)} \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} \cr & > {1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}} \cr}$

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên $n > 1$.

Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Với mỗi số nguyên dương n, đặt ${u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}$   (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u_n chia hết cho 5.

Giải:

+) Với $n = 1$, ta có:

${u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} = 7 + 3 = 10$  $\vdots$ $5$

Suy ra (1) đúng khi $n = 1$.

+) Giả sử (1) đúng khi $n = k, k \in \mathbb N^*$, tức là:

${u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]$ $\vdots$ $5$

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$

Thật vậy, ta có :

$\eqalign{ & {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} \cr & = {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr & = 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5.{3^{2k - 1}} \cr & = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}}\,\, \cr}$

Vì $u_k$ $⋮$ $5$ (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra ${u_{k + 1}}$ chia hết cho $5$ ta được điều cần chứng minh.

Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho số thực $x > -1$. Chứng minh rằng :

${\left( {1 + x} \right)^n} \ge 1 + nx$   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Giải

+) Với $n = 1$, ta có  ${\left( {1 + x} \right)^1} = 1 + x = 1 + 1.x$

Như vậy, ta có (1) đúng khi $n = 1$

+) Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k, k \in \mathbb N^*$, tức là: 

${\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx$  

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$.

Thật vậy, từ giả thiết $x > -1$ nên $(1+x)>0$

 Theo giả thiết qui nạp, ta có : ${\left( {1 + x} \right)^k} \ge 1 + kx$   (2)

Nhân hai vế của (2) với $(1+x)$ ta được:

$\eqalign{ & {\left( {1 + x} \right)^{k + 1}} \ge \left( {1 + x} \right)\left( {1 + kx} \right) \cr & = 1 + \left( {k + 1} \right)x + k{x^2} \ge 1 + \left( {k + 1} \right)x \cr}$

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi $n \in \mathbb N^*$.

Câu 8 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một học sinh chứng minh mệnh đề “Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, nếu ${8^k} + 1$ chia hết cho 7 thì ${8^{k + 1}} + 1$ cũng chia hết cho 7 ” như sau :

Ta có: ${8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7.$ Từ đây và giả thiết “${8^k} + 1$ chia hết cho 7”, hiển nhiên suy ra ${8^{k + 1}} + 1$ chia hết cho 7.

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được “${8^n} + 1$ chia hết cho 7 với mọi $n \in \mathbb N^*$ ” hay không ? Vì sao ?

Giải

Không thể kết luận “${8^n} + 1$ chia hết cho 7 với mọi $n \in \mathbb N^*$ ”, vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi $n = 1$.

Giaibaitap.me