Processing math: 100%
Trang chủ
Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết
Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Toán 11 Nâng cao

CHƯƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Giải bài tập trang 100 bài 1 phương pháp quy nạp toán học SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau...

Câu 1 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :

1+2+3+...+n=n(n+1)2   (1)

Giải:

+) Với n = 1 ta có 1=1(1+1)2 (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có:

1+2+3+...+k=k(k+1)2

Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh :

1+2+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)2

Thật vậy ta có :

1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2

Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n nguyên dương.

 


Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

22+42+...+(2n)2=2n(n+1)(2n+1)3

Giải

+) Với n=1 ta có 22=2.2.33 (đúng).

Vậy (1) đúng với n=1

+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có :  

22+42+...+(2k)2=2k(k+1)(2k+1)3

+) Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh :

22+42+...+(2k)2+(2k+2)2=2(k+1)(k+2)(2k+3)3

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :

22+42+...+(2k)2+(2k+2)2=2k(k+1)(2k+1)3+(2k+2)2=2(k+1)(2k2+k+6k+6)3=2(k+1)[2k(k+2)+3(k+2)]3=2(k+1)(k+2)(2k+3)3

Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi nN

 


Câu 3 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bất đẳng thức sau :

1+12+...+1n<2n

Giải:

+) Với n=1 ta có 1<21 .

Vậy (1) đúng với n=1

+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có :

1+12+...+1k<2k

+) Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh : 

1+12+...+1k+1k+1<2k+1()

Theo giả thiết qui nạp ta có :

1+12+...+1k+1k+1<2k+1k+1

Để chứng minh (*) ta cần chứng minh

2k+1k+1<2k+1

Thật vậy ta có :

2k+1k+1<2k+12k(k+1)+1<2(k+1)2k(k+1)<2k+14k(k+1)<(2k+1)2

4k2+4k<4k2+4k+1

0<1 (luôn đúng)

Vậy ta có (*) luôn đúng  tức (1) đúng với n=k+1, do đó (1) đúng với mọi nN.

 


Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n2, ta luôn có đẳng thức sau :

(114)(119)...(11n2)=n+12n

Giải

+) Với n=2 ta có 114=34 (đúng). Vậy (1) đúng với n=2

+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có

(114)(119)...(11k2)=k+12k

+) Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh :

(114)(119)...(11(k+1)2)=k+22(k+1)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

(114)(119)...(11k2)(11(k+1)2)=k+12k(11(k+1)2)=k+12k.k2+2k(k+1)2=k+12k.k.(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)

Vậy (1) đúng với n=k+1 do đó (1) đúng với mọi n2

 


Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau :

1n+1+1n+2+...+12n>1324.

Giải:

+) Với n=2 ta có :  13+14=712>1324

Như vậy  (1) đúng khi n=2

+) Giả sử (1) đúng khi n=k,k>2, tức là giả sử

1k+1+1k+2+...+12k>1324

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi n=k+1, nghĩa là ta sẽ chứng minh

1k+2+1k+3+...+12k+1+12(k+1)>1324

Thật vậy , ta có:

1k+2+1k+3+...+12k+12k+1+12(k+1)=1k+1+1k+2+...+12k+12k+1+12(k+1)1k+1=1k+1+1k+2+...+12k+2(k+1)+2k+12(2k+1)2(k+1)(2k+1)=1k+1+1k+2+...+12k+12(k+1)(2k+1)>1k+1+1k+2+...+12k>1324

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n>1.

 


Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Với mỗi số nguyên dương n, đặt un=7.22n2+32n1   (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có un chia hết cho 5.

Giải:

+) Với n=1, ta có:

u1=7.22.12+32.11=7+3=10   5

Suy ra (1) đúng khi n=1.

+) Giả sử (1) đúng khi n=k,kN, tức là:

uk=[7.22k2+32k1]  5

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n=k+1

Thật vậy, ta có :

uk+1=7.22(k+1)2+32(k+1)1=4.7.22k2+9.32k1=4(7.22k2+32k1)+5.32k1=4.uk+5.32k1

uk 5 (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra uk+1 chia hết cho 5 ta được điều cần chứng minh.

 


Câu 7 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho số thực x>1. Chứng minh rằng :

(1+x)n1+nx   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Giải

+) Với n=1, ta có  (1+x)1=1+x=1+1.x

Như vậy, ta có (1) đúng khi n=1

+) Giả sử đã có (1) đúng khi n=k,kN, tức là: 

(1+x)k1+kx  

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi n=k+1.

Thật vậy, từ giả thiết x>1 nên (1+x)>0

 Theo giả thiết qui nạp, ta có : (1+x)k1+kx   (2)

Nhân hai vế của (2) với (1+x) ta được:

(1+x)k+1(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi nN.

 


Câu 8 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một học sinh chứng minh mệnh đề “Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu 8k+1 chia hết cho 7 thì 8k+1+1 cũng chia hết cho 7 ” như sau :

Ta có: 8k+1+1=8(8k+1)7. Từ đây và giả thiết “8k+1 chia hết cho 7”, hiển nhiên suy ra 8k+1+1 chia hết cho 7.

Hỏi từ chứng minh trên, bạn học sinh đó có thể kết luận được “8n+1 chia hết cho 7 với mọi nN ” hay không ? Vì sao ?

Giải

Không thể kết luận “8n+1 chia hết cho 7 với mọi nN ”, vì chưa kiểm tra tính đúng của mệnh đề đó khi n=1.

 

Giaibaitap.me

Góp ý - Báo lỗi

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Giaibaitap.me

Bài giải mới nhất

Bài giải mới nhất các môn khác