Câu 55 trang 38 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm x, biết :

a. \({{2x + 1} \over {{x^2} - 2x + 1}} - {{2x + 3} \over {{x^2} - 1}} = 0\)

b. \({3 \over {x - 3}} - {{6x} \over {9 - {x^2}}} + {x \over {x + 3}} = 0\)

Giải:

a. \({{2x + 1} \over {{x^2} - 2x + 1}} - {{2x + 3} \over {{x^2} - 1}} = 0\) điểu kiện \(x \ne  \pm 1\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {{2x + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = 0  \cr  &  \Rightarrow {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0  \cr  &  \Rightarrow {{2{x^2} + 2x + x + 1 - 2{x^2} + 2x - 3x + 3} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0  \cr  &  \Rightarrow {{2x + 4} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \cr} \)

Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0

\( \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x =  - 3\)

x = - 3 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức bằng 0.

Câu 56 trang 38 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng 0 :

a. \({x \over {{x^2} - 4}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}?\)

b. \({1 \over {{x^2} + x + 1}} + x - 1?\)

Giải:

a. \({x \over {{x^2} - 4}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = {x \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\( = {{{x^2} + 2x + 3x - 6} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{{x^2} - x + 6x - 6} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right)} \over {\left( {x - 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Biểu thức bằng 0 khi \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\)  và \(\left( {x - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x =  - 6\)

\(\left( {x - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\)và \(x \ne  - 2\)

\(x = 1\)  và \(x =  - 6\) khác 2 và – 2

Vậy với x = 1 hoặc x = - 6 thì giá trị của biểu thức bằng 0.

b. \({1 \over {{x^2} + x + 1}} + x - 1\)\( = {{1 + \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {{x^2} + x + 1}} = {{1 + {x^3} - 1} \over {{x^2} + x + 1}} = {{{x^3}} \over {{x^2} + x + 1}}\)

Biểu thức bằng 0 khi \({x^3} = 0\) và \({x^2} + x + 1 \ne 0.\)

\({x^3} = 0 \Rightarrow x = 0,{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {3 \over 4} = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ne 0\)mọi x

Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức bằng 0.

Câu 57 trang 38 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :

a. \({2 \over {x - 3}}\)

b. \({3 \over {x + 2}}\)

c. \({{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\)

d. \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\)

Giải:

a. \({2 \over {x - 3}}\) là một số nguyên nên \(2 \vdots \left( {x - 3} \right)\) và \(x \ne 3\)

⇒ x – 3 ∈ Ư(2) = { - 2; -1 ; 1; 2 }

   \(\eqalign{& x - 3 =  - 2 \Rightarrow x = 1  \cr & x - 3 =  - 1 \Rightarrow x = 2  \cr  & x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4  \cr  & x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5 \cr} \)

Vậy với x ∈ { 1; 2; 4; 5 } thì \({2 \over {x - 3}}\)là một số nguyên

b. \({3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên nên 3 ⋮ (x + 2) và x ≠ - 2

⇒ x + 2 ∈ Ư(3) = { -3; -1; 1; 3 }

    \(\eqalign{  & x + 2 =  - 3 \Rightarrow x =  - 5  \cr  & x + 2 =  - 1 \Rightarrow x =  - 3  \cr  & x + 2 = 1 \Rightarrow x =  - 1  \cr  & x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 \cr} \)

Vậy với x ∈ { -5; -3; -1; 1 } thì \({3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên

c.  \({{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\)\( = {{\left( {3{x^2} + 8x + 33} \right)\left( {x - 4} \right) + 131} \over {x - 4}} = 3{x^2} + 8x + 33 + {{131} \over {x - 4}}\)

Với x là số nguyên ta có : \(3{x^2} + 8x + 33\) là số nguyên

Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì 131 ⋮ (x – 4 ) và x ≠ 4

⇒ x – 4 ∈ Ư(131) = {-131; -1; 1; 131}

   \(\eqalign{ & x - 4 =  - 131 \Rightarrow x =  - 127  \cr  & x - 4 =  - 1 \Rightarrow x = 3  \cr  & x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5  \cr  & x - 4 = 131 \Rightarrow x = 135 \cr} \)

Vậy x ∈ {-127; 3; 5; 135} thì ${{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}$ là số nguyên

d.  \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\)\( = {{\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) + 3} \over {3x + 2}} = x - 1 + {3 \over {3x + 2}}\) (với \(x \ne  - {3 \over 2}\) )

x là số nguyên ta có x – 1 là số nguyên.

Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì 3 ⋮ (3x + 2) và \(x \ne  - {3 \over 2}\)

3x + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3 }

\(3x + 2 =  - 3 \Rightarrow x =  - {5 \over 3} \notin \) (loại)

\(3x + 2 =  - 1 \Rightarrow x =  - 1\)

\(3x + 2 = 1 \Rightarrow x =  - {1 \over 3} \notin \) (loại)

\(3x + 2 = 3 \Rightarrow x = {1 \over 3} \notin \) (loại)

x = - 1 khác \( - {3 \over 2}\)

Vậy với x = - 1 thì biểu thức \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\) có giá trị nguyên.

Giaibaitap.me