Câu 44 trang 36 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức

a. \({1 \over 2} + {x \over {1 - {x \over {x + 2}}}}\)

b. \({{x - {1 \over {{x^2}}}} \over {x + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}}\)

c. \({{1 - {{2y} \over x} + {{{y^2}} \over {{x^2}}}} \over {{1 \over x} - {1 \over y}}}\)

d. \({{{x \over 4} - 1 + {3 \over {4x}}} \over {{x \over 2} - {6 \over x} + {1 \over 2}}}\)

Giải:

a. \({1 \over 2} + {x \over {1 - {x \over {x + 2}}}}\)\( = {1 \over 2} + {x \over {{{x + 2 - x} \over {x + 2}}}} = {1 \over 2} + {x \over {{2 \over {x + 2}}}}\)

b. \({{x - {1 \over {{x^2}}}} \over {x + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}}\) \( = \left( {x - {1 \over {{x^2}}}} \right):\left( {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2}}}:{{{x^2} + x + 1} \over {{x^2}}}\)

\( = {{{x^3} - 1} \over {{x^2}}}.{{{x^2}} \over {{x^2} + x + 1}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right){x^2}} \over {{x^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = x - 1\)

c. \({{1 - {{2y} \over x} + {{{y^2}} \over {{x^2}}}} \over {{1 \over x} - {1 \over y}}}\)\( = \left( {1 - {{2y} \over x} + {{{y^2}} \over {{x^2}}}} \right):\left( {{1 \over x} - {1 \over y}} \right) = {{{x^2} - 2xy + {y^2}} \over {{x^2}}}:{{y - x} \over {xy}}\)

\( = {{{x^2} - 2xy + {y^2}} \over {{x^2}}}.{{xy} \over {y - x}} = {{{{\left( {y - x} \right)}^2}.xy} \over {{x^2}\left( {y - x} \right)}} = {{y\left( {y - x} \right)} \over x}\)

d. \({{{x \over 4} - 1 + {3 \over {4x}}} \over {{x \over 2} - {6 \over x} + {1 \over 2}}}\)\( = \left( {{x \over 4} - 1 + {3 \over {4x}}} \right):\left( {{x \over 2} - {6 \over x} + {1 \over 2}} \right) = {{{x^2} - 4x + 3} \over {4x}}:{{{x^2} - 12x + x} \over {2x}}\)

\(\eqalign{  &  = {{{x^2} - 4x + 3} \over {4x}}.{{2x} \over {{x^2} - 12 + x}} = {{{x^2} - x - 3x + 3} \over {4x}}.{{2x} \over {{x^2} - 3x + 4x - 12}}  \cr  &  = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {4x}}.{{2x} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right).2x} \over {4x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 4} \right)}} \cr} \)

Câu 45 trang 36 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Thực hiện các phép tính sau :

a. \(\left( {{{5x + y} \over {{x^2} - 5xy}} + {{5x - y} \over {{x^2} + 5xy}}} \right).{{{x^2} - 25{y^2}} \over {{x^2} + {y^2}}}\)

b. \({{4xy} \over {{y^2} - {x^2}}}:\left( {{1 \over {{x^2} + 2xy + {y^2}}} - {1 \over {{x^2} - {y^2}}}} \right)\)

c. \(\left[ {{1 \over {{{\left( {2x - y} \right)}^2}}} + {2 \over {4{x^2} - {y^2}}} + {1 \over {{{\left( {2x + y} \right)}^2}}}} \right].{{4{x^2} + 4xy + {y^2}} \over {16x}}\)

d. \(\left( {{2 \over {x + 2}} - {4 \over {{x^2} + 4x + 4}}} \right):\left( {{2 \over {{x^2} - 4}} + {1 \over {2 - x}}} \right)\)

Giải:

a. \(\left( {{{5x + y} \over {{x^2} - 5xy}} + {{5x - y} \over {{x^2} + 5xy}}} \right).{{{x^2} - 25{y^2}} \over {{x^2} + {y^2}}}\)

\(\eqalign{  &  = \left[ {{{5x + y} \over {x\left( {x - 5y} \right)}} + {{5x - y} \over {x\left( {x + 5y} \right)}}} \right].{{{x^2} - 25{y^2}} \over {{x^2} + {y^2}}}  \cr  &  = {{\left( {5x + y} \right)\left( {x + 5y} \right) + \left( {5x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)} \over {x\left( {x - 5y} \right)\left( {x + 5y} \right)}}.{{\left( {x - 5y} \right)\left( {x + 5y} \right)} \over {{x^2} + {y^2}}}  \cr  &  = {{5{x^2} + 25xy + xy + 5{y^2} + 5{x^2} - 25xy - xy + 5{y^2}} \over {x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}  \cr  &  = {{10{x^2} + 10{y^2}} \over {x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = {{10\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \over {x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = {{10} \over x} \cr} \)

b. \({{4xy} \over {{y^2} - {x^2}}}:\left( {{1 \over {{x^2} + 2xy + {y^2}}} - {1 \over {{x^2} - {y^2}}}} \right)\)

\(\eqalign{  &  = {{4xy} \over {{y^2} - {x^2}}}:\left[ {{1 \over {{{\left( {x + y} \right)}^2}}} - {1 \over {\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}}} \right]  \cr  &  = {{4xy} \over {{y^2} - {x^2}}}:{{x - y - \left( {x + y} \right)} \over {{{\left( {x + y} \right)}^2}\left( {x - y} \right)}} = {{4xy} \over {{y^2} - {x^2}}}:{{ - 2y} \over {{{\left( {x + y} \right)}^2}\left( {x - y} \right)}} = {{4xy} \over {{y^2} - {x^2}}}.{{{{\left( {x + y} \right)}^2}\left( {y - x} \right)} \over {2y}}  \cr  &  = {{4xy{{\left( {x + y} \right)}^2}\left( {y - x} \right)} \over {\left( {y + x} \right)\left( {y - x} \right).2y}} = 2x\left( {x + y} \right) \cr} \)

c. \(\left[ {{1 \over {{{\left( {2x - y} \right)}^2}}} + {2 \over {4{x^2} - {y^2}}} + {1 \over {{{\left( {2x + y} \right)}^2}}}} \right].{{4{x^2} + 4xy + {y^2}} \over {16x}}\)

\(\eqalign{  &  = \left[ {{1 \over {{{\left( {2x - y} \right)}^2}}} + {2 \over {\left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}} + {1 \over {{{\left( {2x + y} \right)}^2}}}} \right].{{{{\left( {2x + y} \right)}^2}} \over {16x}}  \cr  &  = {{{{\left( {2x + y} \right)}^2} + 2\left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right) + {{\left( {2x - y} \right)}^2}} \over {{{\left( {2x + y} \right)}^2}.{{\left( {2x - y} \right)}^2}}}.{{{{\left( {2x + y} \right)}^2}} \over {16x}}  \cr  &  = {{{{\left[ {\left( {2x + y} \right) + \left( {2x - y} \right)} \right]}^2}} \over {16x{{\left( {2x - y} \right)}^2}}} = {{{{\left( {4x} \right)}^2}} \over {16x{{\left( {2x - y} \right)}^2}}} = {{16{x^2}} \over {16x{{\left( {2x - y} \right)}^2}}} = {x \over {{{\left( {2x - y} \right)}^2}}} \cr} \)

d. \(\left( {{2 \over {x + 2}} - {4 \over {{x^2} + 4x + 4}}} \right):\left( {{2 \over {{x^2} - 4}} + {1 \over {2 - x}}} \right)\)

\(\eqalign{  &  = \left[ {{2 \over {x + 2}} - {4 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]:\left[ {{2 \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - {1 \over {x - 2}}} \right]  \cr  &  = {{2\left( {x + 2} \right) - 4} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}:{{2 - \left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = {{2x + 4 - 4} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}:{{2 - x - 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}  \cr  &  = {{2x} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over { - x}} = {{2\left( {x - 2} \right)} \over { - \left( {x + 2} \right)}} = {{2\left( {2 - x} \right)} \over {x + 2}} \cr} \)

Câu 46 trang 36 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định :

a. \({{5{x^2} - 4x + 2} \over {20}}\)

b. \({8 \over {x + 2004}}\)

c. \({{4x} \over {3x - 7}}\)

d. \({{{x^2}} \over {x + z}}\)

Giải:

a. Phân thức : \({{5{x^2} - 4x + 2} \over {20}}\)xác định với mọi \(x \in R\)

b. Phân thức : \({8 \over {x + 2004}}\)xác định khi \(x + 2004 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 2004\)

c. Phân thức : \({{4x} \over {3x - 7}}\)xác định khi \(3x - 7 \ne 0 \Rightarrow x \ne {7 \over 3}\)

d. Phân thức : \({{{x^2}} \over {x + z}}\)xác định khi \(x + z \ne 0 \Rightarrow x \ne  - z\)

Câu 47 trang 36 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Phân tích mẫu thức của các phân thức sau thành nhân tử rồi tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức xác định :

a. \({5 \over {2x - 3{x^2}}}\)

b. \({{2x} \over {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1}}\)

c. \({{ - 5{x^2}} \over {16 - 24x + 9{x^2}}}\)

d. \({3 \over {{x^2} - 4{y^2}}}\)

Giải:

a.  \({5 \over {2x - 3{x^2}}}\)\( = {5 \over {x\left( {2 - 3x} \right)}}\) xác định khi \(x\left( {2 - 3x} \right) \ne 0\)

\(\left\{ {\matrix{{x \ne 0}  \cr{2 - 3x \ne 0}  \cr}  \Rightarrow \left\{ {\matrix{ {x \ne 0}  \cr {x \ne {2 \over 3}}  \cr} } \right.} \right.\)

Vậy phân thức \({5 \over {2x - 3{x^2}}}\) xác định với \(x \ne 0\)  và \(x \ne {2 \over 3}\)

b. \({{2x} \over {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1}}\) \( = {{2x} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}}}\) xác định khi \({\left( {2x + 1} \right)^3} \ne 0 \Rightarrow 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - {1 \over 2}\)

c.  \({{ - 5{x^2}} \over {16 - 24x + 9{x^2}}}\)\( = {{ - 5{x^2}} \over {{4^2} - 2.4.3x + {{\left( {3x} \right)}^2}}} = {{ - 5{x^2}} \over {{{\left( {4 - 3x} \right)}^2}}}\)

xác định khi \({\left( {4 - 3x} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow 4 - 3x \ne 0 \Rightarrow x \ne {4 \over 3}\)

d. \({3 \over {{x^2} - 4{y^2}}}\)\( = {3 \over {\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\)  xác định khi \(\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) \ne 0\)

\( \Rightarrow \left\{ {\matrix{{x - 2y \ne 0}  \cr{x + 2y \ne 0}  \cr}  \Rightarrow x \ne  \pm 2y} \right.\)

Giaibaitap.me