Câu 22 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang cân ABCD có AB// CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng DH = CK.

Giải:

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:

\(\widehat {AHD} = \widehat {BKC} = {90^0}\)

AD=BC (tính chất hình thang cân)

\(\widehat C = \widehat D\) (gt)

Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn)

Câu 23 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA=OB, OC=OD.

Giải:

Xét ∆ ADC và ∆ BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\)  (gt)

DC cạnh chung

Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.g.c)

\( \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1}\)

Trong ∆ OCD ta có: \({\widehat C_1} = {\widehat D_1}\)

⇒ ∆ OCD cân tại O

⇒ OC = OD  (1)

AC = BD ( tính chất hình thang cân)

⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO

Câu 24 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.

a. Tứ giác BMNC là hình gì ? Vì sao ?

b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng \(\widehat A = {40^0}\)

Giải:

a. ∆ ABC cân tại A

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) (tính chất tam giác cân)   (1)

AB = AC (gt)

⇒ AM + BM= AN+ CN

⇒ mà BM = CN (gt)

⇒ suy ra: AM = AN

⇒ ∆ AMN cân tại A

\( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) ( tính chất tam giác cân)  (2)

⇒ Từ (1) và (2) suy ra:  \({\widehat M_1} = \widehat B\)

⇒MN // BC ( vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BCMN là hình thang có \(\widehat B = \widehat C\). Vậy BCMN là hình thang cân.

b. \(\widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2} = {{{{180}^0} - {{40}^0}} \over 2} = {70^0}\)

Mà \({\widehat M_2} + \widehat B = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)

\( \Rightarrow {\widehat M_2} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {70^0} = {110^0}\) 

\({\widehat N_2} = {\widehat M_2} = {110^0}\)   (tính chất hình thang cân)

Câu 25 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Giải:

Xét hai tam giác AEB và AFC

Có AB = AC (∆ ABC cân tại A)

\(\widehat {ABE} = {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 2} = \widehat {ACF}\) và \(\widehat A\) là góc chung

\( \Rightarrow \Delta ADB = \Delta AEC\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AE = AF \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {AFE} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) và trong tam giác  \(\Delta ABC:\,\,\widehat B = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\)

\( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat B \Rightarrow FE//BC\) ⟹ tứ giác BFEC là hình thang.

Giaibaitap.me