Câu 154 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE.

Giải:                                                                    

Trên tia đối tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK

Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (*)

Xét ∆ ABK và ∆ CBM:

AB = CB (gt)

\(\widehat A = \widehat C = {90^0}\)

AK = CM (theo cách vẽ)

Do đó: ∆ ABK = ∆ CBM (c.g.c)

\( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_4}\) (1)

\(\widehat {KBC} = {90^0} - {\widehat B_1}\) (2)

Trong tam giác CBM vuông tại C.

\(\widehat M = {90^0} - {\widehat B_4}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {KBC} = \widehat M\) (4)

\(\widehat {KBC} = {\widehat B_2} + {\widehat B_3}\)  mà  \({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (gt)

\({\widehat B_1} = {\widehat B_4}\) (chứng minh trên)

Suy ra: \({\widehat B_2} = {\widehat B_4} \Rightarrow {\widehat B_2} + {\widehat B_3} = {\widehat B_3} + {\widehat B_4}\) hay \(\widehat {KBC} = \widehat {EBM}\) (5)

Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {EBM} = \widehat M\)

⇒ ∆ EBM cân tại E ⇒ EM = BE (**)

Từ (*) và (**) suy ra: AK + CE = BE.

Câu 155 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.

a. Chứng minh rằng CE vuông góc với DF

b. Gọi M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh rằng AM = AD

HD . Gọi K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng KA // CE.

Giải:                                                                         

a. Xét ∆ BEC và ∆ CFD:

BE = CF (gt)

\(\widehat B = \widehat C = {90^0}\)

BC = CD (gt)

Do đó: ∆ BEC = ∆ CFD (c.g.c)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1}  \cr  & {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {90^0} \cr} \)

Suy ra: \({\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}\)

Trong ∆ DCM có \({\widehat D_1} + {\widehat C_2} = {90^0}\)

Suy ra: \(\widehat {DMC} = {90^0}\). Vậy CE ⊥ DF

b. Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại N.

Xét tứ giác AKCE ta có:

AB // CD hay AE // CK

AE = \({1 \over 2}\)AB (gt)

CK = \({1 \over 2}\)CD (theo cách vẽ)

Suy ra: AE // CK nên tứ giác AKCE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

 AK // CE

DF ⊥ CE (chứng minh trên)⇒  AK ⊥ DF hay AN ⊥ DM

Trong ∆ DMC ta có: DK = KC

                                 KN // CM

nên DN = MN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: ∆ ADM cân tại A (vì có đường cao vừa là đường trung tuyến)

⇒ AD = AM

Câu 156 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho\(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\).

a. Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho\(\widehat {FAD} = \widehat {FDA} = {15^0}\). Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều.

b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Giải:                                                                           

a. Xét ∆ EDC và ∆ FDA :

\(\widehat {EDC} = \widehat {FAD} = {15^0}\)

DC = AD (gt)

\(\widehat {ECD} = \widehat {FDA} = {15^0}\)

Do đó: ∆ EDC = ∆ FDA (g.c.g)

 ⇒ DE = DF

⇒ ∆ DEF cân tại D

Ta lại có:

\(\eqalign{  & \widehat {ADC} = \widehat {FDA} + \widehat {FDE} + \widehat {EDC}  \cr &  \Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {ADC} - \left( {\widehat {FDA} + \widehat {EDC}} \right) \cr & = {90^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {60^0} \cr} \)

Vậy ∆ DEF đều.

b. Xét ∆ ADE và ∆ BCE:

ED = EC (vì ∆ EDC cân tại E)

\(\widehat {ADE} = \widehat {BCE} = {75^0}\)

AD = BC (gt)

Do đó: ∆ ADE = ∆ BCE (c.g.c)

⇒ AE = BE (1)

Trong ∆ AFD ta có:

\(\eqalign{  & \widehat {AFD} = {180^0} - \left( {\widehat {FAD} + \widehat {FDA}} \right) \cr & = {180^0} - \left( {{{15}^0} + {{15}^0}} \right) = {150^0}  \cr  & \widehat {AFD} + \widehat {DFE} + \widehat {AFE} = {360^0}  \cr  &  \Rightarrow \widehat {AFE} = {360^0} - \left( {\widehat {AFD} + \widehat {DFE}} \right) \cr & = {360^0} - \left( {{{150}^0} + {{60}^0}} \right) = {150^0} \cr} \)

Xét ∆ AFD và ∆ AEF:

AF cạnh chung

\(\widehat {AFD} = \widehat {AFE} = {150^0}\)

DF = EF (vì ∆ DFE đều)

Do đó: ∆ AFD = ∆ AEF (c.g.c)

⇒ AE = AD

AD = AB (gt)

Suy ra: AE = AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AB = BE. Vậy ∆ AEB đều.

Giaibaitap.me