Câu 121 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng EH = DH

HD: Vẽ điểm I là trung điểm của DE, điểm M là trung điểm của BC.

Giải:                                                                         

BH ⊥ DE (gt)

CK ⊥ DE (gt)

Suy ra BH // CK nên tứ giác BHKC là hình thang

Ta có: Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE

Trong tam giác BDC vuông tại D có DM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.

⇒ DM = \({1 \over 2}\) BC (tính chất tam giác vuông)

Trong tam giác BEC vuông tại E có EM là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.

⇒ EM = ${1 \over 2}$BC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: DM = EM nên ∆ MDE cân tại M

MI là đường trung tuyến nên MI là đường cao ⇒ MI ⊥ DE

Suy ra: MI // BH // CK

              BM = MC

Suy ra: HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang)

⇒ HE + EI = ID + DK

mà EI = ID ( theo cách vẽ)

 ⇒ HE = DK

Câu 122 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.

a. Chứng minh rằng AH = DE.

b. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DI // EK

Giải:                                                                   

a. Xét tứ giác ADHE:

\(\widehat A = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì HD ⊥ AB)

\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

⇒ AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

b. ∆ BHD vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH

⇒ DI = IB = \({1 \over 2}\) BH (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ IDB cân tại I \( \Rightarrow \widehat {DIB} = {{{{180}^0} - \widehat B} \over 2}\) (1)

∆ HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC

⇒ EK = KH = \({1 \over 2}\)HC (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ KHE cân tại K \( \Rightarrow \widehat {EKH} = {{{{180}^0} - \widehat {KHE}} \over 2}\) (2)

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

⇒ HE // AD hay HE // AB

 ⇒ \(\widehat B = \widehat {KHE}\) (đồng vị) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {DIB} = \widehat {EKH}\)

⇒ DI // EK (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Câu 123 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a. Chứng minh rằng \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)

b. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Giải:                                                                   

a. AH ⊥ BC (gt) \( \Rightarrow \widehat {HAB} + \widehat B = {90^0}\)

\(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) (vì ∆ ABC có\(\widehat A = {90^0}\))

Suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat C\) (1)

∆ ABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

⇒ AM = MC = \({1 \over 2}\) BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∆ MAC cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C\) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)

b. xét tứ giác ADHE có:

\(\widehat A = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì HD ⊥ AB)

\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì HE ⊥ AC)

Suy ra: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

⇒ ∆ ADH = ∆ EHD (c.c.c)

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {HED}\)

\(\widehat {HED} + {\widehat E_1} = \widehat {HEA} = {90^0}\)

Suy ra: \({\widehat E_1} + {\widehat A_1} = {90^0}\)

              \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (chứng minh trên)

 \( \Rightarrow {\widehat E_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)

Gọi I là giao điểm của AM và DE

Trong ∆ AIE ta có:

\(\widehat {AIE} = {180^0} - \left( {{{\widehat E}_1} + {{\widehat A}_1}} \right) = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

\(\Rightarrow \)AM ⊥ DE.

Giaibaitap.me