Câu 5 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có \(5\) đội bóng ? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau).

Giải

Có \(5! = 120\) khả năng

Câu 6 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giả sử có \(8\) vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ?

Giải:

Ba vị trí nhất nhì ba là một chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử nên

Có \(A_8^3 = 8.7.6 = 336\) kết quả

Câu 7 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng cho một tập hợp \(P\) gồm \(n\) điểm. Hỏi :

a. Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?

b. Có bao nhiêu vecto khác vecto \(\overrightarrow 0 \) mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?

Giải:

a. Giả sử \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}\{ {A_1};{\rm{ }}{A_2};{\rm{ }}{A_3};{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}{A_n}\} \). Với mỗi tập con \(\{ {A_1};{\rm{ }}{A_2}\} {\rm{ }}\left( {i{\rm{ }} \ne {\rm{ }}j} \right)\), ta tạo được đoạn thẳng \({A_i}{A_j}\). Ngược lại, mỗi đoạn thẳng với hai đầu mút là hai điểm \({A_i},{\rm{ }}{A_j}\) tương ứng với tập con \(\{ {A_i},{\rm{ }}{A_j}\} \). Thứ tự hai đầu mút không quan trọng : Đoạn thẳng \({A_i}{A_j}\) và đoạn thẳng \({A_j}{A_i}\) chỉ là một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc \(P\) chính bằng số tổ hợp chập 2 của \(n\) phần tử, tức là bằng  \(C_n^2 = {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}.\)

b. Với mỗi bộ hai điểm có sắp thứ tự \(({A_i},{\rm{ }}{A_j}) (i ≠ j)\) ta tạo được một vecto \(\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \) ứng với một bộ hai điểm có sắp thứ tự \(({A_i},{\rm{ }}{A_j})\), \(A_i\) là điểm gốc, \(A_j\) là điểm ngọn. Thứ tự hai điểm ở đây quan trọng vì \(\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \,và \,\overrightarrow {{A_j}{A_i}} \) là hai vecto khác nhau. Do đó số vecto cần tìm bằng số chỉnh hợp chập \(2\) của \(n\) phần tử, tức là bằng  \(A_n^2 = n\left( {n - 1} \right).\)

Câu 8 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ.

a. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

b. Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí thư, Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?

Giải:

a. Số cách chọn 3 người mà không có sự phân biệt về chức vụ trong ban thường vụ bằng số tổ hợp chập 3 của 7 phân tử, tức bằng \(C_7^3 = 35\) cách chọn.

b. Số cách chọn 3 người với các chức vụ : Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ bằng số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử, tức bằng : \(A_7^3 = 210\) cách chọn.

Câu 9 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu phương án trả lời ?

Giải:

Bài thi có \(4^{10}= 1048576\) phương án trả lời.

Câu 10 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 ?

Giải:

Một số có 6 chữ số và chia hết cho 5 có dạng \(\overline {Abcdeg } \)

+) a có 9 cách chọn,

+) g có hai cách chọn

+) b, c, d, e mỗi chữ số có 10 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có : \(9.10^4.2 = 180000\) số.

Câu 11 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét mạng đường nối các tỉnh A, B, C, D, E, F, G, trong đó số viết trên một cạch cho biết số con đường nối hai tỉnh nằm ở haiđầu mút của cạnh (h. 2.2). Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh G ?

Giải:

Có 4 phương án đi qua các tỉnh A đến G là :

a. A → B → D → E → G

b. A → B → D → F → G

c. A → C → D → E → G

d. A → C → D → F → G

Theo quy tắc nhân, ta có :

Phương án a có \(2.3.2.5 = 60\) cách đi;

Phương án b có \(2.3.2.2 = 24\) cách đi;

Phương án c có \(3.4.2.5 = 120\) cách đi;

Phương án d có \(3.4.2.2 = 48\) cách đi.

Theo quy tắc cộng, ta có : \(60 + 24 + 120 + 48 = 252\) cách đi từ A đến G.

Câu 12 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét hồ sơ mạng điện ở hình 2.3 có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở.

Hỏi có bao nhiêu cách đóng – mở 6 công tắc để mạng điện thông mạch từ P đến Q (tức là có dòng điện từ P đến Q) ?

Giải:

Mỗi cách đóng mở công tác của mạng điện được gọi là một trạng thái của mạng điện. Theo quy tắc nhân, mạng điện có \(2^6= 64\) trạng thái. Trước hết, ta tìm xem có bao nhiêu trạng thái không thông mạch (không có dòng điện đi qua). Mạch gồm hai nhánh A → B và C → D. Trạng thái không thông mạch xảy ra khi và chỉ khi cả hai nhánh A → B và C → D đều không thông mạch. Dễ thấy nhánh A → B có 8 trạng thái trong đó chỉ có duy nhất một trạng thái thông mạch, còn lại có 7 trạng thái không thông mạch. Tương tự ở nhánh C → D có 7 trạng thái không thông mạch. Theo quy tắc nhân, ta có \(7.7 = 49\) trạng thái mà cả A → B và C → D đều không thông mạch. Vậy điện có \(64 – 49 = 15\) trạng thái thông mạch từ P tới Q.

Câu 13 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau.

a. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể ?

b. Nếu kết qủa của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể ?

Giải

a. Số cách chọn ra 4 người điểm cao nhất trong 15 người tham dự là số tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy kết quả cần tìm là :  \(C_{15}^4 = 1365\)

b. Số cách chọn ra 3 giải nhất, nhì, ba là số chỉnh hợp chập 3 của 15 phần tử. Vậy kết quả cần tìm là  \(A_{15}^3 = 2730\)

Câu 14 trang 63 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có bốn giải : 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi :

a. Có bao nhiêu kết quả có thể ?

b. Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất ?

c. Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải ?

Giải:

a. Có \(A_{100}^4 = 94109400\) kết quả có thể.

b. Nếu giải nhất đã xác định thì ba giải nhì, ba, tư sẽ rơi vào 99 người còn lại.

Vậy có \(A_{99}^3 = 941094\) kết quả có thể.

c. Người giữ vé số 47 có 4 khả năng trúng 1 trong 4 giải. Sau khi xác định giải của người này thì 3 giải còn lại sẽ rơi vào 99 người không giữ vé số 47. Vậy có \(A_{99}^3\) khả năng. Theo quy tắc nhân, Ta có \(4.A_{99}^3 = 3764376\) kết quả có thể.

Câu 15 trang 64 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn, phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải:

Số cách chọn 5 em trong 10 em là :\(C_{10}^5.\)Số cách chọn 5 em toàn nam là :  \(C_{8}^5.\)

Do đó số cách chọn ít nhất một nữ là :   \(C_{10}^5 - C_8^5 = 196.\)

Câu 16 trang 64 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải:

Số cách chọn 5 em toàn nam là \(C_7^5.\) Số cách chọn 4 nam và 1 nữ là  \(C_7^4C_3^1\)

Vậy đáp số bài toán là :  \(C_7^5 + C_7^4C_3^1 = 126.\)

Giaibaitap.me