Câu 17 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Tìm hệ số của ${x^{101}}{y^{99}}$ trong khai triển  ${\left( {2x - 3y} \right)^{200}}$

Giải:

Ta có:

${\left( {2x - 3y} \right)^{200}} = \sum\limits_{k = 0}^{200} {C_{200}^k{{\left( {2x} \right)}^{200 - k}}{{\left( { - 3y} \right)}^k}}$ 

Số hạng chứa ${x^{101}}{y^{99}}$ ứng với $k = 99$, đó là :  $C_{200}^{99}.{\left( {2x} \right)^{101}}{\left( { - 3y} \right)^{99}}$

Vậy hệ số của  ${x^{101}}{y^{99}}$ là $C_{200}^{99}.{\left( {2} \right)^{101}}{\left( { - 3} \right)^{99}}$

Câu 18 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Tính hệ số của ${x^5}{y^8}$ trong khai triển  ${\left( {x + y} \right)^{13}}$

Giải:

Ta có:

${\left( {x + y} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 - k}}{y^k}}$

Số hạng chứa ${x^5}{y^8}$ ứng với $k = 8$ đó là  $C_{13}^8{x^5}{y^8}.$

Vậy hệ số của  ${x^5}{y^8}\,\text{ là }\,C_{13}^8 = 1287$

Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính hệ số của ${x^7}$ trong khai triển  ${\left( {1 + x} \right)^{11}}$

Giải:

${\left( {1 + x} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{{.1}^{11 - k}}}$

Hệ số ${x^7}$ trong khai triển  ${\left( {1 + x} \right)^{11}}\text{ là }\,C_{11}^7 = 330.$

Câu 20 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính hệ số của ${x^9}$ trong khai triển  ${\left( {2 - x} \right)^{19}}$

Giải

Ta có:

${\left( {2 - x} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}{{\left( { - x} \right)}^k}}$ 

Hệ số của ${x^9}$ là$- C_{19}^9{2^{10}} = - 94595072$ (ứng với$k = 9$)

Câu 21 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Khai triển ${\left( {3x + 1} \right)^{10}}$ cho tới x³.

Giải

Ta có:

$\eqalign{ & {\left( {3x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {3x} \right)}^k} = 1 + C_{10}^1\left( {3x} \right) + C_{10}^2{{\left( {3x} \right)}^2} + C_{10}^3{{\left( {3x} \right)}^3} + ...} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 30x + 405{x^2} + 3240{x^3} + ... \cr}$

Câu 22 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển của  ${\left( {3 - 2x} \right)^{15}}$

Giải

Ta có:

${\left( {3 - 2x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 - k}}{{\left( { - 2x} \right)}^k}}$ 

Hệ số của $x^7$ à :$C_{15}^7{.3^8}{\left( { - 2} \right)^7} = - C_{15}^7{.3^8}{.2^7}$ (ứng với $k = 7$)

Câu 23 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tính hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển của  ${\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}$

Giải:

Ta có:

${\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{15 - k}}{{\left( {xy} \right)}^k}}$ 

Số hạng chứa ${x^{25}}{y^{10}}$ ứng với k = 10 đó là :

$C_{15}^{10}{\left( {{x^3}} \right)^5}{\left( {xy} \right)^{10}} = C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}$

Vậy hệ số của  ${x^{25}}{y^{10}}\,la\,C_{15}^{10} = 3003$

Câu 24 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Biết rằng hệ số của ${x^{n - 2}}$ trong khai triển ${\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n}$ bằng $31$. Tìm $n$.

Giải:

Ta có:

${\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{{\left( { - {1 \over 4}} \right)}^k}}$

Hệ số của $x^{n-2}$ là   $C_n^2{\left( { - {1 \over 4}} \right)^2} = 31 \Rightarrow {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2} = 16.31 \Rightarrow n = 32$

Giaibaitap.me