Bài 3.4 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong khai triển ${\left( {1 + ax} \right)^n}$ ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x². Hãy tìm a và n.

Giải:

Ta có: \({\left( {1 + ax} \right)^n} = 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\)

Theo bài ra:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
C_n^1a = 24 \hfill \cr
C_n^2{a^2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
na = 24 \hfill \cr
{{n\left( {n - 1} \right){a^2}} \over 2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
na = 24 \hfill \cr
\left( {n - 1} \right)a = 21 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
n = 8 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

Bài 3.5 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong khai triển của \({\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6}\), hệ số của x⁷ là -9 và không có số hạng chứa x⁸. Tìm a và b.

Giải:

Số hạng chứa x⁷ là \(\left( {C_3^0.C_6^2{{\left( { - b} \right)}^2} + C_3^1a.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^2{a^2}C_6^0} \right){x^7}\)

Số hạng chứa x⁸ là \(\left( {C_3^0.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^1a.C_6^0} \right){x^8}\)

Theo bài ra ta có

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
15{b^2} - 18ab + 3{a^2} = - 9 \hfill \cr
- 6b + 3a = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 2b \hfill \cr
{b^2} = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
b = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.. \cr}\)

Bài 3.6 trang 69 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển \({\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Giải:

Ta có:

\({\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - {2 \over x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - {2 \over x}} \right)^2} + ...\) 

Theo giả thiết, ta có: 

\(\eqalign{
& C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 \cr
& \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
n = 8 \hfill \cr
n = - 6{\rm{ }}\left( {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr}\)

Vậy n = 8. Từ đó ta có:

\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^8} \cr
& = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - {2 \over x}} \right)}^k}} \cr
& = \sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \cr} \) 

Như vậy, ta phải có \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4\). 

Do đó hệ số của số hạng chứa x⁴ là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).

Giaibaitap.me