Bài 3.16 trang 147 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt phẳng này tại trung điểm O của đoạn thẳng đó. Các đường thẳng vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) qua A và B lần lượt cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tại A’ và B’.
Chứng minh ba điểm A’, O, B’ thẳng hàng và AA’ = BB’
Giải:
\(\left\{ \matrix{
AA' \bot \left( \alpha \right) \hfill \cr
BB' \bot \left( \alpha \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow AA'\parallel BB'\)
Mặt phẳng (AA’, BB’) xác định bởi hai đường thẳng song song (AA’, BB’) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến qua O, A’, B’. Do đó ba điểm O, A’, B’ thẳng hàng.
Hai tam giác vuông OAA’và OBB’ bằng nhau vì có một cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau nên từ đó ta suy ra AA’ = BB’.
Bài 3.17 trang 147 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho tam giác ABC. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Giải:
Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không thể trùng nhau vì nếu chúng trùng nhau thì từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với một mặt phẳng, điều đó là vô lí.
Mặt khác \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) cũng không song song với nhau.
Vì nếu \(\left( \alpha \right)\parallel \left( \beta \right)\), thì từ \(CB \bot \left( \beta \right)\) ta suy ra \(CB \bot \left( \alpha \right)\)
Như vậy từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với \(\left( \alpha \right)\), điều đó là vô lí.
Vậy \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là hai mặt phẳng không trùng nhau, không song song với nhau và chúng phải cắt nhau theo giao tuyến d, nghĩa là \(d = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\)
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
d \subset \left( \alpha \right) \hfill \cr
CA \bot \left( \alpha \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow CA \bot d\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr
& \left\{ \matrix{
d \subset \left( \beta \right) \hfill \cr
CB \bot \left( \beta \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow CB \bot d\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)
Từ (1) và (2) suy ra \(d \bot \left( {ABC} \right)\).
Bài 3.18 trang 147 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) AA ⊥ BC và AA’ ⊥ B’C’.
b) Gọi MM’ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA’) với mặt bên BCC’B’, trong đó M ∈ BC và M’ ∈ B’C’. Chứng minh rằng tứ giác BCC’B là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.
Giải:
a) \(BC \bot AH\) và \(BC \bot A'H\) vì \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\)
\( \Rightarrow BC \bot \left( {A'HA} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\)
Và \(B'C' \bot AA'\) vì \(BC\parallel B'C'\)
b) Ta có \(AA'\parallel BB'\parallel CC'\) mà \(BC \bot AA'\) nên tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật. Vì \(AA'\parallel \left( {BCC'B'} \right)\) nên ta suy ra \(MM' \bot BC\) và \(MM' \bot B'C'\) hay MM’ là đường cao của hình chữ nhật BCC’B’.
Bài 3.19 trang 147 Sách bài tập (SBT) Hình học 11
Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của của điểm B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng \(C{\rm{D}} \bot CA\) và \(C{\rm{D}} \bot \left( {SCA} \right)\).
Giải:
Ta có
\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot DC \subset \left( {ABC} \right)\)
Vì AC và BD cắt nhau tại trung điểm Ocủa mỗi đoạn nên tứ giác ABCD là hình bình hành và ta có \(AB\parallel C{\rm{D}}\). Vì \(AB \bot AC\) nên \(C{\rm{D}} \bot CA\). Mặt khác ta có \(C{\rm{D}} \bot SA\), do đó \(C{\rm{D}} \bot \left( {SCA} \right)\)
Giaibaitap.me
Giải bài 3.20, 3.21 trang 147 bài 3 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Câu 3.20: Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD...
Giải bài tập trang 152 bài 4 hai mặt phẳng vuông góc Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Câu 3.22: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau...
Giải bài tập trang 153 bài 4 hai mặt phẳng vuông góc Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Câu 3.26: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh:...
Giải bài tập trang 153 bài 4 hai mặt phẳng vuông góc Sách bài tập (SBT) Hình học 11. Câu 3.30: Tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và , có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a....