Bài 2.13 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ?
Giải:
Số tập con của tập hợp gồm 4 điểm là
\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 16.\)
Bài 2.14 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu
a) Ghế sắp thành hàng ngang ?
b) Ghế sắp quanh một bàn tròn ?
Giải:
a) Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau. Có 6! cách.
Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ.
Bây giờ chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế. Có \(C_7^4\) cách.
Xếp nữ vào 4 ghế đó. Có 4! cách.
Vậy có \(6!.C_7^4.4! = 120.7!\) cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
b) Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách.
Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó. Có \(A_6^4\) cách.
Theo quy tắc nhân, có \(5!.A_6^4 = 43200\) cách.
Bài 2.15 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với \(1 \le k \le n,\)
\(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\)
Giải:
\(\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr
& C_n^{k + 1} = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} \cr
& ... \cr
& C_{k + 2}^{k + 1} = C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr} \)
Từ đó
\(\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k. \cr} \)
Bài 2.16 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Sử dụng đồng nhất thức \({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\) để chứng minh rằng
\({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}\)
Giải:
Ta có:
\(A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.} \)
Kết hợp với \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\), ta được
\(A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + {{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)} \over 3}\)
\(= {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
Giaibaitap.me
Giải bài tập trang 67, 68 bài 2 hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Câu 2.17: Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức...
Giải bài tập trang 69 bài 3 nhị thức Niu-tơn Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Câu 3.1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển \({\left( {x + {2 \over x}} \right)^{10}}\) mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần...
Giải bài tập trang 69 bài 3 nhị thức Niu-tơn Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Câu 3.4: Hãy tìm a và n...
Giải bài tập trang 72 bài 4 phép thử và biến cố Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11. Câu 4.1: Gieo một đồng tiền ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N)...
