Bài 1 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính các giới hạn sau

a) \(\lim {{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}} \over {1 - {5^n}}}\) ;

b) \(\lim {{1 + 2 + 3 + ... + n} \over {{n^2} + n + 1}}\) ;

c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1}  - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\)     

Giải:

a) - 2 ;

b) \({1 \over 2}\)  ;

c) \({1 \over 2}\)     

Bài 2 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

a) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\) ;

b) \({u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\)    

Giải:

a)      Ta có, \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\). Đặt \({v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\)       (1)

Ta có \(\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\)

Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Từ (1) suy ra, \(\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\)

Vậy, \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)

b)      Hướng dẫn : \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}\)

Bài 3 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn2,131131131… (chu kì 131) dưới dạng phân số.

Giải:

\(\eqalign{
& 2,131131131... = 2 + {{131} \over {1000}} + {{131} \over {{{1000}^2}}} + ... + {{131} \over {{{1000}^n}}} + ... \cr
& {\rm{ }} = 2 + {{{{131} \over {1000}}} \over {1 - {1 \over {1000}}}} = 2 + {{131} \over {999}} = {{2129} \over {999}}. \cr} \)

(Vì \({{131} \over {1000}},{{131} \over {{{1000}^2}}},...,{{131} \over {{{1000}^n}}},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = {1 \over {1000}}\)).

Bài 4 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}}\,\,{\rm{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

a)      Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) với mọi n.

b)      Biết \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạnđó.

Giải:

a)      Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọi n.     (1)

-          Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\)

-          Giả sử  (1) đúng với \(n = k \ge 1\) nghĩa là \({u_k} > 0\) ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\). Vì \({u_k} > 0\) nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\)

-          Kết luận: \({u_n} > 0\) với mọi n.

b)      Đặt

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = a \cr
& {u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow \lim {u_{n + 1}} = \lim {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 2}} \cr
& \Rightarrow a = {{2a + 3} \over {a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3 \cr}\)

Vì \({u_n} > 0\) với mọi n, nên \(\lim {u_n} = a \ge 0\). Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \)

Giaibaitap.me