Bài 9 trang 171 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1} \over {4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}\) ;

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - \sqrt x } \over {\sqrt x  - 1}}\) ;

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{2{x^4} + 5x - 1} \over {1 - {x^2} + {x^4}}}\) ;

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} } \over {1 - 2x}}\) ;

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)\) ;

f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right)\)    

Giải:

a)      4 ;              b) 1 ;                c) 2;                 d) \({1 \over 2}\) ; 

e)   

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)} \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {x\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)

f)     

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{1 - \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2} - 4}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{ - x - 1} \over {{x^2} - 4}} = - \infty \cr} \)

Bài 10 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Xác định một hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :

a) f(x) xác định trên R\ {1} ,

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 2\)

Giải :

Chẳng hạn \(f\left( x \right) = {{2{x^2} + 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Dễ dàng kiểm tra được rằng f(x) thoả mãn các điều kiện đã nêu.

Bài 11 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Xét tính liên tục của hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^3} + 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne - 1 \hfill \cr
1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = - 1 \hfill \cr} \right.\) trên tập xácđịnh của nó.

Giải:

Hàm số liên tục trên R

Bài 12 trang 172 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Xác định một hàm số \(y = f\left( x \right)\) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :

a) \(f\left( x \right)\) xác định trên R

b) \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) nhưng gián đoạn tại x = 0

Giải :

Hướng dẫn :Chẳng hạn xét 

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr
x - 1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Giaibaitap.me