Bài 1 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng 

a) \({n^5} - n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in N*\) ;

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;

c) \({n^3} - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N*\) ;

Giải:

a)      HD: Xem ví dụ 1, .

b)      HD: Đặt \({A_n} = {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3}\) dễ thấy \({A_1} \vdots 9\)

Giả sử đã có \({A_1} \vdots 9\) với \(k \ge 1\). Ta phải chứng minh \({A_{k + 1}} \vdots 9\)

Tính \({A_{k + 1}} = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27\)

c)      Làm tương tự như 1.a).

Bài 2 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N*

a) \({A_n} = {1 \over {1.2.3}} + {1 \over {2.3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = {{n\left( {n + 3} \right)} \over {4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\) ;

b) \({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 6}\) ;

c) \({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = {{\sin {{nx} \over 2}.\sin {{\left( {n + 1} \right)x} \over 2}} \over {\sin {x \over 2}}}\)  

Giải:

a)      HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn

\({A_{k + 1}} = {A_k} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)

b)      HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã cho \({B_k} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\)

Ta cần chứng minh

\({B_{k + 1}} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 2}\) bằng cách tính \({B_{k + 1}} = {B_k} + {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}\)

c)      HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã có \({S_k} = {{\sin {{kx} \over 2}.\sin {{\left( {k + 1} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\)

Viết \({S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x\) sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có

\({S_{k + 1}} = {{\sin {{\left( {k + 1} \right)x} \over 2}.\sin {{\left( {k + 2} \right)} \over 2}x} \over {\sin {x \over 2}}}\left( {đpcm} \right)\) 

Bài 3 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) \({3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)\) với \(n \ge 4\) ;

b) \({2^{n - 3}} > 3n - 1\) với \(n \ge 8\)

Giải:

a) Với n = 4 thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24\)

Giả sử đã có

\({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4\)    (1)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

\(\eqalign{
& {3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right) \cr
& {\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right] + 2{k^2} + 2k - 3 \cr} \)                      

Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1

b)      Giải tương tự câu a).

Bài 4 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) \) :

\({\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = 1,{u_2} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm\,\,{ với\,\, n}} \ge {\rm{2}} \hfill \cr} \right.\) 

a)      Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b)      Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng ;

c)      Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right) \) theo n.

Giải:

a)      Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11

b)      Từ công thức xác định dãy số ta có

\({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1\)   (1)

Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) nên từ (1), ta có

\({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2\)    (2)

Vậy \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1\) công sai d = 1

c)      Để tính \(\left( {{u_n}} \right) \) ta viết

\(\eqalign{
& {v_1} = 1 \cr
& {v_2} = {u_3} - {u_2} \cr
& {v_3} = {u_4} - {u_3} \cr
& ... \cr
& {v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} \cr
& {v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}} \cr}\) 

Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được

\({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}\) suy ra

\({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}\)

Giaibaitap.me