Câu 60 trang 86 Sách bài tập(SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC có\(\widehat A = {70^0}\), điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.

a. Chứng minh rằng AD = AE

b. Tính số đo góc DAE.

Giải:                                                           

a. Vì D đối xứng với M qua trục AB

⇒ AB là đường trung trực MD.

⇒ AD = AM (tính chất đường trung trực) (1)

⇒ Vì E đối xứng với M qua trục AC

⇒ AC là đường trung trực của ME

⇒ AM = AE ( tính chất đường trung trực) (2)

⇒ Từ (1) và (2) suy ra : AD = AE

b. AD = AM suy ra ∆ AMD cân tại A có  AB ⊥ MD

nên AB cũng là đường phân giác của góc MAD

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat A_2}\)

AM = AE suy ra ∆ AME cân tại A có AC ⊥ ME nên AC cũng là đường phân giác của \(\widehat {MAE}\)

\( \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\)

\(\widehat {DAE} = {\widehat A_1} + {\widehat A_2} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\)

\(= 2\left( {{{\widehat A}_2} + {{\widehat A}_3}} \right) = 2\widehat {BAC} = {2.70^0} = {140^0}\)

Câu 61 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác nhọn ABC có\(\widehat A = {60^0}\), trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.

a. Chứng minh ∆ BHC = ∆ BMC.

b. Tính \(\widehat {BMC}\)

Giải:                                                                           

a. Vì M đối xứng với H qua trục BC

  ⇒ BC là đường trung trực của HM

  ⇒ BH = BM ( tính chất đường trung trực)

      CH = CM ( tính chất đường trung trực)

Suy ra: ∆ BHC = ∆ BMC (c.c.c)

b. Gọi giao điểm BH với AC là D, giao điểm của CH và AB là E

H là trực tâm của ∆ ABC

⇒ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB

Xét tứ giác ADHE ta có:

 \(\widehat {DHE} = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat D + \widehat E} \right) \)

\(= {360^0} - \left( {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) = {120^0}\)

\(\widehat {BHC} = \widehat {DHE}\)  (đối đỉnh)

∆ BHC = ∆ BMC (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BHC}\)

Suy ra: \(\widehat {BMC} = \widehat {DHE} = {120^0}\)

Câu 62 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hình thang vuông ABCD\(\left( {\widehat A = \widehat D = {{90}^0}} \right)\). Gọi điểm H la điểm đối xứng với B qua AD, I là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\)

Giải:                                                                           

B và H đối xứng qua AD.

I và A đối xứng với chính nó qua AD

Nên \(\widehat {AIB}\) đối xứng với \(\widehat {AIH}\) qua AD

\( \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {AIH}\)

\(\widehat {AIH} = \widehat {DIC}\)( đối đỉnh)

Suy ra:  \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\)

Câu 63 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy (AB không vuông góc với xy). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B và xy. Gọi M là điểm bất kì khác C thuộc đường thẳng xy. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB.

Giải:                                                                           

Vì A’ đối xứng với A qua xy

⇒ xy là đường trung trực của AA’

⇒ CA’ = CA (tính chất đường trung trực)

MA = MA’ (tính chất đường trung trực)

AC + CB = A’C + CB = A’B (1)

MA + MB = MA’ + MB         (2)

Trong ∆ MA’B ta có:

A’B < A’M + MB (bất đẳng thức tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC + CB < AM + MB

Giaibaitap.me