Câu 41 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Giải các phương trình sau:

a. \({{2x + 1} \over {x - 1}} = {{5\left( {x - 1} \right)} \over {x + 1}}\)

b. \({{x - 3} \over {x - 2}} + {{x - 2} \over {x - 4}} =  - 1\)

c. \({1 \over {x - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\)

d. \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\)

Giải:

a. \({{2x + 1} \over {x - 1}} = {{5\left( {x - 1} \right)} \over {x + 1}}$                       ĐKXĐ:  

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{5\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 5\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + x + 1 = 5{x^2} - 10x + 5  \cr  &  \Leftrightarrow 2{x^2} - 5{x^2} + 2x + x + 10x + 1 - 5 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 13x - 4 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 12x + 4 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x\left( {3x - 1} \right) - 4\left( {3x - 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x - 4 = 0\) hoặc \(3x - 1 = 0\)

            +)  \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn)

             +)  \(3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\) (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc \(x = {1 \over 3}\)

b. \({{x - 3} \over {x - 2}} + {{x - 2} \over {x - 4}} =  - 1\)                           ĐKXĐ: \(x \ne 2\)và \(x \ne 4\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} + {{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}} =  - {{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) =  - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3x + 12 + {x^2} - 2x - 2x + 4 =  - {x^2} + 4x + 2x - 8  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} - 17x + 24 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} - 9x - 8x + 24 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3x\left( {x - 3} \right) - 8\left( {x - 3} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {3x - 8} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 3x - 8 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)

+ \(3x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = {8 \over 3}\) (thỏa mãn)

+ \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn)

 Vậy phương trình có nghiệm \(x = {8 \over 3}\) hoặc x = 3

c. \({1 \over {x - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {4 \over {{x^2} + x + 1}}\)                      

ĐKXĐ:  \(x \ne 1\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{{x^2} + x + 1} \over {{x^3} - 1}} + {{2{x^2} - 5} \over {{x^3} - 1}} = {{4\left( {x - 1} \right)} \over {{x^3} - 1}}  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4\left( {x - 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} - 5 = 4x - 4  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + 2{x^2} + x - 4x =  - 4 + 5 - 1  \cr  &  \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa) hoặc \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (loại)

 Vậy phương trình có nghiệm x = 0

d. \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\)                       ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 3\) và \(x =  - {7 \over 2}\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{13\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {{{x^2} - 9} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}} = {{6\left( {2x + 7} \right)} \over {\left( {{x^2} - 9} \right)\left( {2x + 7} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow 13\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 9 = 6\left( {2x + 7} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4x - 12 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 4\left( {x - 3} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x + 4 = 0\) hoặc \(x - 3 = 0\)

+ \(x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\) (thỏa mãn)

+ \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\) (loại)

 Vậy phương trình có nghiệm x = -4

Câu 42 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho phương trình ẩn:

\({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\)

a. Giải phương trình với a = -3

b. Giải phương trình với a = 1

c. Giải phương trình với a = 0

d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.

Giải:

a. Khi a = -3, ta có phương trình:

\({{x - 3} \over { - 3 - x}} + {{x + 3} \over { - 3 + x}} = {{ - 3\left[ {3\left( { - 3} \right) + 1} \right]} \over {{{\left( { - 3} \right)}^2} - {x^2}}}\)                       ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 3\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x - 3}} = {{24} \over {9 - {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} - {{x + 3} \over {x - 3}} =  - {{24} \over {{x^2} - 9}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} - {{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} =  - {{24} \over {{x^2} - 9}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right) - {\left( {x + 3} \right)^3} =  - 24  \cr  &  \Leftrightarrow 3x - 9 - {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 =  - 24  \cr  &  \Leftrightarrow 12x =  - 24 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x =  - 2\) (thỏa)

 Vậy phương trình có nghiệm x = -2

b. Khi a = 1, ta có phương trình:

\({{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {{1\left( {3.1 + 1} \right)} \over {{1^2} - {x^2}}}\)                       ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {4 \over {1 - {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {1 - {x^2}}} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right)} \over {1 - {x^2}}} = {4 \over {1 - {x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right) = 4  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x - {x^2} - 1 + x = 4  \cr  &  \Leftrightarrow 4x = 4 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x = 1\) (loại)

 Vậy phương trình vô nghiệm.

c. Khi a = 0, ta có phương trình: \({x \over { - x}} + {x \over x} = {0 \over {{x^2}}}\)                      

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{ - {x^2}} \over {{x^2}}} + {{{x^2}} \over {{x^2}}} = {0 \over {{x^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow  - {x^2} + {x^2} = 0 \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \)

Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \ne 0\)

 Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 0\)

d. Thay \(x = {1 \over 2}\) vào phương trình, ta có:

\({{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}}\)                        ĐKXĐ: \(x \ne  \pm {1 \over 2}\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {1 \over 4}}}  \cr &  \Leftrightarrow {{1 + 2a} \over {2a - 1}} + {{1 - 2a} \over {2a + 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{\left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} + {{\left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right) + \left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right) = 4a\left( {3a + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a - 1 - 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a  \cr  &  \Leftrightarrow 12{a^2} - 4a = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 4a\left( {3a - 1} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 4a = 0\) hoặc \(3a - 1 = 0\)  

\( \Leftrightarrow a = 0\) (thỏa) hoặc \(a = {1 \over 3}\) (thỏa)

Vậy khi a = 0 hoặc \(a = {1 \over 3}\) thì phương trình \({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\) nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.

Câu 5.1* trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Giải các phương trình

a. \({2 \over {x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x - 2}}}}}} = {6 \over {3x - 1}}\)

b. \({{{{x + 1} \over {x - 1}} - {{x - 1} \over {x + 1}}} \over {1 + {{x + 1} \over {x - 1}}}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\)

c. \({5 \over x} + {4 \over {x + 1}} = {3 \over {x + 2}} + {2 \over {x + 3}}\)

Giải:

a. Ta có: \(x + {1 \over {1 + {{x + 1} \over {x - 2}}}} = x + {{x - 2} \over {2x - 1}} = {{2\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2x - 1}}\)

ĐKXĐ của phương trình là \(x \ne 2,x \ne {1 \over 2},x \ne  \pm 1,x \ne {1 \over 3}\). Ta biến đổi phương trình đã cho thành

\({{2x - 1} \over {{x^2} - 1}} = {6 \over {3x - 1}}\). Khử mẫu và rút gọn:

\(\eqalign{  & \left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow  - 5x + 1 =  - 6  \cr  &  \Leftrightarrow x = {7 \over 5} \cr} \)

Giá trị \(x = {7 \over 5}\) thỏa mãn ĐKXĐ.  Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {7 \over 5}\)

b. Cách 1. ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\). Biến đổi vế trái thành \({{4x} \over {{x^2} - 1}}.{{x - 1} \over {2x}} = {2 \over {x + 1}}\), ta đưa phương trình đã cho về dạng \({2 \over {x + 1}} = {{x - 1} \over {2\left( {x + 1} \right)}}\).

Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

\(\eqalign{  & 4\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 5\)

Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.

Cách 2. Đặt \({{x + 1} \over {x - 1}} = y\), ta có phương trình \({{y - {1 \over y}} \over {1 + y}} = {1 \over {2y}}\). ĐKXĐ của phương trình này là \(y \ne 0\) và \(y \ne  - 1\). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:

\(\eqalign{  & 2{y^2} - 2 = 1 + y  \cr  &  \Leftrightarrow 2\left( {{y^2} - 1} \right) - \left( {y + 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {2y - 3} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow y =  - 1\) hoặc \(y = {3 \over 2}\)

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có \(y = {3 \over 2}\) là thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình \({{x + 1} \over {x - 1}} = {3 \over 2}\)

Giải phương trình này ta được x = 5

c. ĐKXĐ: \(x \in \left\{ {0; - 1; - 2; - 3} \right\}\). Ta biến đổi phương trình như sau:

\(\eqalign{  & {5 \over x} + {2 \over {x + 3}} = {4 \over {x + 1}} + {3 \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {{5 \over x} + 1} \right) + \left( {{2 \over {x + 3}} + 1} \right) = \left( {{4 \over {x + 1}} + 1} \right) + \left( {{3 \over {x + 2}} + 1} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow {{5 + x} \over x} + {{5 + x} \over {x + 3}} = {{5 + x} \over {x + 1}} + {{5 + x} \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {{1 \over x} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}}} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 5 + x = 0(1) \cr} \)

hoặc \({1 \over x} + {1 \over {x + 3}} - {1 \over {x + 1}} - {1 \over {x + 2}} = 0\)  (2)

Ta có:

(1) \( \Leftrightarrow x =  - 5\)

(2) \(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {1 \over x} + {1 \over {x + 3}} = {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}}  \cr  &  \Leftrightarrow {{2x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {{1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}}} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 2x + 3 = 0\) hoặc \({1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\)

+ \(2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - {3 \over 2}\)

+ \({1 \over {{x^2} + 3x}} - {1 \over {{x^2} + 3x + 2}} = 0\). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.

Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = \(\left\{ { - 5; - {3 \over 2}} \right\}\)

Giaibaitap.me