Câu 21 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^0}\)), AB = 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D và song song với AB, cắt AC tại E

a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.

b. Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD.

Giải:

a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {21^2} + {28^2} = 1225\)

Suy ra: BC = 35 (cm)

Vì AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên:

\({{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác )

Suy ra: \({{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

hay \({{BD} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

Suy ra: \(BD = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{35.21} \over {21 + 28}} = 15\) (cm)

Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20 (cm)

Trong tam giác ABC ta có: DE // AB

Suy ra: \({{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )

Suy ra: \(DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{20.21} \over {35}} = 12\)  (cm)

b. Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.21.28 = 294(c{m^2})\)

Vì ∆ ABC và ∆ ADB có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:

\(\eqalign{  & {{{S_{ADB}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{BD} \over {BC}} = {{15} \over {35}} = {3 \over 7}  \cr  &  \Rightarrow {S_{ABC}} = {3 \over 7}{S_{ABC}} = {3 \over 7}.294 = 126(c{m^2}) \cr} \)

Vậy \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} = 294 - 126 = 168(c{m^2})\).

Câu 22 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.

a. Tính AD, DC.

b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC.

Giải:

Vì BD là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên:

\({{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác )

Suy ra: \({{AD} \over {AD + DC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)

hay \({{AD} \over {AC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\)

Mà ∆ ABC cân tại A nên AC = AB = 15 (cm)

Suy ra: \({{AD} \over {15}} = {{15} \over {15 + 10}} \Rightarrow AD = {{15.15} \over {25}} = 9\) (cm)

Vậy DC = AC – AD = 15 – 9 = 6 (cm)

b. Vì BE ⊥ BD nên BE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B

Suy ra: \({{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {BA}}\) (tính chất đường phân giác )

Suy ra: \({{EC} \over {EC + AC}} = {{BC} \over {BA}} \Rightarrow EC.BA = BC\left( {EC + AC} \right)\)

Suy ra:

 \(\eqalign{  & EC.BA - EC.BC = BC.AC  \cr  &  \Rightarrow EC\left( {BA - BC} \right) = BC.AC \cr} \)

Vậy \(EC = {{BC.AC} \over {BA - BC}} = {{10.15} \over {15 - 10}} = 30\) (cm).

Câu 23 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Tam giác vuông ABC có\(\widehat A = 90^\circ \), AB = 12cm, AC = 16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D.

a. Tính BC, BD và CD.

b. Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.

Giải:

a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400\)

Suy ra: BC = 20 (cm)

Vì AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\)  nên:

\({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác )

Suy ra: \({{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

hay \({{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

Suy ra: \(DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} = {{60} \over 7}\) (cm)

Vậy: DC = BC – DB = \(20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}\) (cm)

b. Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC\)

Suy ra: AB.AC = AH.BC

\( \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\)  (cm)

Trong tam giác vuông AHB, ta có: \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

Suy ra:

\(\eqalign{  & H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {12^2} - {\left( {9,6} \right)^2} = 51,84  \cr  &  \Rightarrow HB = 7,2(cm) \cr} \)

Vậy \(HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2 \approx 1,37\) (cm)

Trong tam giác vuông AHD, ta có: \(\widehat {AHD} = 90^\circ \)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} = {\left( {9,6} \right)^2} + {\left( {1,37} \right)^2} = 94,0369\)

Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm)

Giaibaitap.me