Câu 140 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thoi ABCD có \(\widehat A = {60^0}\) . Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì ? Vì sao ?

Giải:                                                            

Nối BD, ta có:

AB = AD (gt)

nên ∆ ABD cân tại A

mà  \(\widehat A = {60^0}\)

⇒ ∆ ABD đều

\( \Rightarrow \widehat {ABD} = {\widehat D_1} = {60^0}\)  và BD = AB

Suy ra: BD = BC = CD

⇒ ∆ CBD đều

\( \Rightarrow {\widehat D_2} = {60^0}\)

Xét ∆ BAM và ∆ BDN:

AB = BD (chứng minh trên)

\(\widehat A = {\widehat D_2} = {60^0}\)

AM = DN

Do đó: ∆ BAM = ∆ BDN (c.g.c) \( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_3}\)  và BM = BN

Suy ra: ∆ BMN cân tại B

\({\widehat B_2} + {\widehat B_1} = \widehat {ABD} = {60^0}\)

Suy ra: \({\widehat B_2} + {\widehat B_3} = \widehat {MBN} = {60^0}\)

Vậy ∆ BMN đều

Câu 141 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng IK vuông góc với MN.

Giải:                                                              

Trong ∆ BCD ta có:

K là trung điểm của BC (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

nên NK là đường trung bình của ∆ BCD

⇒ NK // BD và NK =\({1 \over 2}\)BD (1)

Trong ∆ BED ta có:

M là trung điểm của BE (gt)

I là trung điểm của DE (gt)

nên MI là đường trung bình của ∆ BED

⇒ MI // BD và MI =\({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK

nên tứ giác MKNI là hình bình hành

Trong ∆ BEC ta có:

MK là đường trung bình

 MK = \({1 \over 2}\)CE (tính chất đường trung bình của tam giác)    

BD = CE (gt)

Suy ra: MK = KN

Vây hình bình hành MKNI là hình thoi.

⇒ IK ⊥ MN (tính chất hình thoi)

Câu 142 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau ở O. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Giải:                                                                         

Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {EOB} = {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (gt)

\(\widehat {COG} = {1 \over 2}\widehat {COD}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {EOB} = \widehat {COG}\)

\(\widehat {EOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COG} = 2\widehat {EOB} + \widehat {BOC}\)

mà \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\) (kề bù)

hay \(2\widehat {EOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\)

Suy ra: E, O, G thẳng hàng

Ta lại có: \(\widehat {BOC} = \widehat {AOD}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {HOD} = {1 \over 2}\widehat {AOD}\) (gt)

\(\widehat {FOC} = {1 \over 2}\widehat {BOC}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {HOD} = \widehat {FOC}\)

\(\widehat {HOD} + \widehat {COD} + \widehat {FOC} = 2\widehat {HOD} + \widehat {COD}\)

mà \(\widehat {AOD} + \widehat {COD} = {180^0}\) (kề bù)

hay\(2\widehat {HOD} + \widehat {COD} = {180^0}\)             

Suy ra: H, O, F thẳng hàng

\(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\) (so le trong)

\(\widehat {HDO} = {1 \over 2}\widehat {ADO}\) (gt)

\(\widehat {FBO} = {1 \over 2}\widehat {CBO}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\)

- Xét ∆ BFO và ∆ DHO:

\(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\) (chứng minh trên_

OD = OB (tính chất hình bình hành)

\(\widehat {HOD} = \widehat {FOB}\) (đối đỉnh)

Do đó: ∆ BFO = ∆ DHO (g.c.g)

⇒ OF = OH

\(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}\) (so le trong)

\(\widehat {OAE} = {1 \over 2}\widehat {OAB}\) (gt)

\(\widehat {OCG} = {1 \over 2}\widehat {OCD}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\)       

- Xét ∆ OAE và ∆ OCG:

\(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\) (chứng minh trên)

OA = OC (tính chất hình bình hành)

\(\widehat {EOA} = \widehat {GOC}\) (đối đỉnh)

Do đó: ∆ OAE = ∆ OCG (g.c.g)

⇒ OE = OG

Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

OE ⊥ OF (tính chất hai góc kề bù)

hay EG ⊥ FH

Vậy: Tứ giác EFGH là hình thoi.

Câu 143 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Dựng hình thoi ABCD, biết cạnh bằng 2cm, một đường chéo bằng 3cm.

Giải:                                                                       

Cách dựng:

       - Dựng ∆ ABD biết AB = AD = 2(cm), BD = 3cm

       - Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A. Từ B dựng tia Bx // AD, từ D dựng tia Dy // AB, chúng cắt nhau tại C.

Ta có hình thoi ABCD cần dựng

Chứng minh:

Vì AB // CD và AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành

AB = AD = 2cm. Vậy tứ giác ABCD là hình thoi

Lại có: BD = 3cm

Hình thoi dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Giaibaitap.me