Bài 5 trang 74 sgk đại số và giải tích 11

Từ cỗ bài tứ lơ khơ \(52\) con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:

a) Cả bốn con đều là át;

b) Được ít nhất một con át;

c) Được hai con át và hai con \(K\).

Bài giải:

Phép thử \(T\) được xét là: "Từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con bài, rút ngẫu nhiên \(4\) con bài".

Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập \(4\) của \(52\) con bài. Do đó số các kết quả có thể có của phép thử \(T\) là \(n(Ω) =C_{52}^4\) = \(\frac{52!}{4!48!} = 270725\).

Vì rút ngẫu nhiên nên các kết quả có thể có là đồng khả năng.

a) Gọi biến cố \(A\): "Rút được bốn con át". Ta có, số kết quả có thể có thuận lợi cho \(A\) là \(n(A) = 1\). Suy ra \(P(A)\) = \(\frac{1}{270725}\)  \(≈ 0,0000037\).

b) Gọi biến cố \(B\): "Rút được ít nhất một con át". Ta có

\(\overline{B}\) = "Rút được \(4\) con bài đều không là át". Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho \(\overline{B}\) là một tổ hợp chập \(4\) của \(48\) con bài không phải là át. Suy ra số các kết quả có thể có thuận lợi cho \(\overline{B}\) là \(C_{48}^4\)= \(\frac{48!}{4!44!}\) = \(194580\). Suy ra \(P\)(\(\overline{B}\)) = \(\frac{194580}{270725}\) \(≈ 0,7187\).

Qua trên ta có \(P(B) = 1\) - P(\(\overline{B}\)) \(≈ 0,2813\).

c) Gọi \(C\) là biến cố: "Rút được hai con át và hai con \(K\)".

Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho \(C\) là một tổ hợp gồm \(2\) con át và \(2\) con K. Vận dụng quy tắc nhân tính được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \(C\) là

\(n(C) = C_4^2.C_4^2 = 6 . 6 = 36\).

Suy ra \(P(C)\) = \(\frac{36}{270725}\) \(≈ 0,000133\).

Bài 6 trang 74 sgk đại số và giải tích 11

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;

b) Nữ ngồi đối diện nhau.

Bài giải:

Mỗi cách xếp \(4\) bạn vào \(4\) chỗ ngồi là một hoán vị của \(4\) phần tử, vì vậy không gian mẫu có \(4! = 24\) phần tử.

a) Trước hết ta tính số cách xếp chỗ cho \(4\) bạn sao cho nam, nữ không ngồi đối diện nhau. Trong các cách xếp chỗ như vậy thì \(2\) nữ phải ngồi đối diện nhau, \(2\) nam cũng ngồi đối diện nhau. Trong các cách xếp chỗ như vậy thì \(2\) nữ phải ngồi đối diện nhau, \(2\) nam cũng phải ngồi đối diện nhau. Có \(4\) chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn, với mỗi cách chọn chỗ của bạn nữ thứ nhất chỉ có duy nhất một chỗ (đối diện) cho bạn nữ thứ hai chọn. Sau khi bai bạn nữ đã chọn chỗ ngồi (đối diện nhau) thì còn lại \(2\) chỗ (đối diện nhau) để xếp cho \(2\) bạn nam và có \(2!\) cách xếp chỗ cho \(2\) bạn này. Vi vậy theo quy tắc nhân, tất cả có \(4 . 1 .2! = 8\) cách xếp chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện nhau. Do đó có \((8\) kết quả không thuận lợi cho biến cố \(A\): "Nam, nữ ngồi đối diện nhau". Do đó có \(8\) kết quả không thuận lợi cho biến cố \(A\): "Nam, nữ ngồi đối diện nhau". Vậy xác suất xảy ra biến cố đối của \(A\) là \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(\frac{8}{24}\) = \(\frac{1}{3}\). Theo quy tắc cộng xác suất ta có  \(P(A) = 1 - P\)(\(\overline{A}\)) = \(\frac{2}{3}\).

b) Vì chỉ có \(4\) người: \(2\) nam và \(2\) nữ nên nếu \(2\) nữ ngồi đối diện nhau thì \(2\) nam cũng ngồi đối diện nhau. Do đó \(\overline{A}\) cũng là biến cố: "Nữ ngồi đối diện nhau". Xác suất xảy ra biến cố này là \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(\frac{1}{3}\).

Bài 7 trang 75 sgk đại số và giải tích 11

Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa \(6\) quả trắng, \(4\) quả đen. Hộp thứ hai chứa \(4\) quả trắng, \(6\) quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

\(A\) là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng";

\(B\) là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng".

a) Xét xem \(A\) và \(B\) có độc lập không.

b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Bài giải:

Phép thử \(T\) được xét là: "Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu".

Mỗi một kết quả có thể có của phép thử \(T\) gồm hai thành phần là: \(1\) quả cầu của hộp thứ nhất và \(1\) quả cầu của hộp thứ \(2\).

Có \(10\) cách để lấy ra \(1\) quả cầu ở hộp thứ nhất và có \(10\) cách để lấy \(1\) quả cầu ở hộp thứ \(2\). Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các cách để lập được một kết quả có thể có của hai phép thử \(T\) là \(10 . 10 = 100\). Suy ra số các kết quả có thể có của phép thử \(T\) là \(n(Ω) = 100\).

Vì lấy ngẫu nhiên nên các kết quả có thể có của phép thử \(T\) là đồng khả năng.

Xét biến cố \(A\): "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu trắng".

Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho \(A\) gồm \(2\) thành phần là: \(1\) quả cầu trắng ở hộp thứ nhất và \(1\) quả cầu (nào đó) ở hộp thứ \(2\). Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \(A\) là: \(n(A) = 6 . 10 = 60\).

Suy ra \(P(A) \)= \(\frac{60}{100}\) = \(0,6\).

Xét biến cố \(B\): "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng".

Tương tự như trên ta tìm được số các kết quả có thể thuận lợi cho \(B\) là:

\(n(B) = 10 . 4 = 40\).

Từ đó suy ra \(P(B)\) = \(\frac{40}{100}\) = \(0,4\).

a) Ta có \(A . B\) là biến cố: "Lấy được \(1\) cầu trắng ở hộp thứ nhất và \(1\) cầu trắng ở hộp thứ hai". Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho \(A . B\) là:

\(6 . 4 =24\). Suy ra:

\(P(A . B)\) = \(\frac{24}{100}\) = \(0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B)\).

Như vậy, ta có \(P(A . B) = P(A) . P(B)\). Suy ra \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau.

b) Gọi \(C\) là biến cố: "Lấy được hai quả cầu cùng màu". Ta có

\(C = A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\).

Trong đó \(\overline{A}\) = "Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen" và \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(0,4\).

\(\overline{B}\): "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" và P(\(\overline{B}\)) = \(0,6\).

Và ta có \(A . B\) và \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\) là hai biến cố xung khắc với nhau.

\(A\) và \(B\) độc lập với nhau, nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) cũng độc lập với nhau.

Qua trên suy ra;

\(P(C)\) = \(P\)(\(A . B\) + \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\)) = \(P(A . B)\) + \(P\)( \(\overline{A}\) . \(\overline{B}\)) = \(P(A) . P(B)\) + \(P\)(\(\overline{A}\)) . \(P\)(\(\overline{B}\))

= \(0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48\).

c) Gọi \(D\) là biến cố: "Lấy được hai quả cầu khác màu". Ta có

\(D\) = \(\overline{C}\) \(=> P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0,48 = 0,52\).

Giaibaitap.me