Bài 1 trang 103 sgk toán 11

Chứng minh các dãy số \(( \frac{3}{5} . 2^n)\), \( (\frac{5}{2^{n}})\), \( ((-\frac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

a) Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\), ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}= ( \frac{3}{5} . 2^{n+1}) : (\frac{3}{5}. 2^n) = 2\).

Suy ra \(u_{n+1}= u_n.2\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)

Vậy dãy số đã cho là một câp số nhân với \(u_1= \frac{6}{5}\), \(q = 2\)

b) Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có \(u_{n+1}= \frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^{n}}.\frac{1}{2}\)=\( u_n.\frac{1}{2}\)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \frac{5}{2}\),\(q= \frac{1}{2}\)

c) Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có \(u_{n+1}= (-\frac{1}{2})^{n+1}=(-\frac{1}{2})^{n}.(-\frac{1}{2})=u_{n}.\frac{-1}{2}\).

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \frac{-1}{2}\),\(q= \frac{-1}{2}\).

Bài 2 trang 103 sgk toán 11

Cho cấp số nhân với công bội \(q\).

a) Biết \(u_1= 2, u_6= 486\). Tìm \(q\)

b) Biết \(q = \frac{2}{3}\), \(u_4= \frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)

c) Biết \(u_1= 3, q = -2\). Hỏi số \(192\) là số hạng thứ mấy?

Hướng dẫn giải:

Trong bài này ta áp dụng công thức tính số hạng tổng quát \(u_n= u_1.q^{n-1}\) biết hai đại lượng, ta sẽ tìm đại lượng còn lại:

a) \(q = 3\).

b) \(u_1= \frac{9}{7}\)

c) Theo đề bài ta có \(u_n= 192\), từ đó ta tìm được \(n\). Đáp số: \(n =7\).

Bài 3 trang 103 sgk toán 11

 Tìm các số hạng của cấp số nhân \((u_n)\) có năm số hạng, biết:

a) \(u_3= 3\) và \(u_5= 27\);                    

b) \(u_4– u_2= 25\) và \(u_3– u_1= 50\) 

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

              \(u_3= 3 = u_1.q^2\) và \(u_5= 27 = u_1.q^4\) 

Vì \(27 = ({u_1}{q^2}).{q^2} = 3.{q^2}\) nên \({q^2} = 9\) hay \(q =  \pm 3\)

Thay \(q^2= 9\) vào công thức chứa \(u_3\), ta có \(u_1\)= \( \frac{1}{3}\).

- Nếu \(q = 3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27\).

- Nếu \(q = -3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27\).

b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

 \( \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 \end{matrix}\right.\) hay \( \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2}-1)=25(1)\\ u_{1}(q^{2}-1)=50 (2)\end{matrix}\right.\)            

Chia (1) cho (2) theo vế với vế ta được: \(50.q = 25\) \(\Rightarrow q =\) \( \frac{1}{2}\).

Và \(u_1=  \frac{50}{q^{2}-1}=\frac{50}{\frac{1}{4}-1}=-\frac{200}{3}\).

Ta có cấp số nhân \( \frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}\).

Giaibaitap.me