Bài 1 trang 82 sách đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với $n \in {\mathbb N}^*$, ta có đẳng thức:

a) $2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}$;

b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$;

c) ${1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Hướng dẫn giải

a) Với $n = 1$, vế trái chỉ có một số hạng là $2$, vế phải bằng $\frac{1.(3.1+1)}{2} = 2$ 

Vậy hệ thức a) đúng với $n = 1$.

Đặt vế trái bằng  $S_n$

Giả sử đẳng thức a) đúng với $n = k ≥ 1$, tức là 

 $S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =  \frac{k(3k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh

$S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =   \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: ${S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2$ = $\frac{k(3k+1)}{2} + 3k + 2$

= $\frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}$ $=\frac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2}=\frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi $n \in {\mathbb N}^*$

b) Với $n = 1$, vế trái bằng $\frac{1}{2}$, vế phải bằng $\frac{1}{2}$, do đó hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng $S_n$_.

Giả sử hệ thức b) đúng với $n = k ≥ 1$, tức là $S_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{k}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: $S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}$

          $= \frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi $n \in {\mathbb N}^*$

c) Với $n = 1$, vế trái bằng $1$, vế phải bằng $\frac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1$ nên hệ thức c) đúng với $n = 1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$_.

Giả sử hệ thức c) đúng với $n = k  ≥ 1$, tức là

$S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}$ =  $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}$$= (k + 1).\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}  = (k + 1)\frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}$       

$=\frac{(k+1)(2k(k+2)+3)+3(k+2)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$ (đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  $n \in {\mathbb N}^*$.

Bài 2 trang 82 sgk toán 11

Chứng minh rằng với $n\in {\mathbb N}^*$    ta luôn có:

a) ${n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$ chia hết cho $3$;

b) ${4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1$ chia hết cho $9$;

c) ${n^3} + {\rm{ }}11n$ chia hết cho $6$.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt $S_n={n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$

Với $n = 1$ thì $S_1= 9$ chia hết cho $3$

Giả sử với $n = k ≥ 1$, ta có $S_k= ({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k)  \vdots$ $3$

Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}$$\vdots$ $3$

Thật vậy :

${\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}3{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}5\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)$ 

$= {k^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}6k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}5$

$= {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}9k{\rm{ }} + {\rm{ }}9$

 hay ${S_{k + 1}} = {S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k$ $\vdots$ $3$, mặt khác $3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3) \vdots$ $3$ nên $S_{k+1} \vdots$ $3$.

Vậy ${n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$ chia hết cho $3$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$  ^.

b) Đặt ${S_n} = {4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1$

Với $n{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{S_1} = {\rm{ }}{4^1} + {\rm{ }}15.1{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}18$ nên $S_1  \vdots$ $9$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ thì ${S_k} = {\rm{ }}{4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }} - {\rm{ }}1$ chia hết cho $9$.

Ta phải chứng minh $S_{k+1} \vdots$ $9$.

Thật vậy, ta có:

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}{4^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} + {\rm{ }}15\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1$

                                    $= {\rm{ }}4({4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }}-{\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}45k{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} = {\rm{ }}4{S_k}-{\rm{ }}9\left( {5k{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)$

Theo giả thiết quy nạp thì  $S_k  \vdots$ $9$  nên $4S_1   \vdots$ $9$, mặt khác $9(5k - 2)   \vdots$ $9$, nên $S_{k+1}  \vdots$ $9$

Vậy $(4^n+ 15n - 1)  \vdots$ $9$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$  

c) Đặt ${S_n} = {n^3} + {\rm{ }}11n$

Với $n = 1$, ta có ${S_1} = {\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}11.1{\rm{ }} = {\rm{ }}12$ nên $S_1$ $\vdots$ $6$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ ,ta có ${S_{k}} = {k^3} + {\rm{ }}11k \vdots$ $6$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}$$\vdots$ 6

Thật vậy, ta có 

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3{\rm{ }} + {\rm{ }}11\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3k^2+ {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}11k{\rm{ }} + {\rm{ }}11$  

$= ({\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}11k){\rm{ }} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4){\rm{ }} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4)$

Theo giả thiết quy nạp thì  $S_k$$\vdots$ $6$, mặt khác $k^2+ k + 4 = k(k + 1) + 4$ là số chẵn nên $3(k^2+ k + 4)$ $\vdots$ $6$, do đó $S_{k+1}$$\vdots$ $6$

Vậy $n^3+ 11n$ chia hết cho $6$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$.

Bài 3 trang 82 sgk toán 11

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n ≥ 2$, ta có các bất đẳng thức:

a) $3^n> 3n + 1$;                  b) $2^{n+1} > 2n + 3$

Hướng dẫn giải:

a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với $n = 2$

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 2$, tức là

                       $3^k> 3k + 1$         (1)

Nhân hai vế của (1) vơi $3$, ta được:

                       $3^{k+1} > 9k + 3 \Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1$.

Vì $6k - 1 > 0$ nên $3^{k+1} > 3k + 4$ 

hay $3^{k+1} > 3(k + 1) + 1$.

tức là bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Vậy $3^n> 3n + 1$ với mọi số tự nhiên $n ≥ 2$.

b) Với $n = 2$ thì vế trái bằng $8$, vế phải bằng $7$. Vậy bất đẳng thức đúng với $n = 2$

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 2$, tức là

          $2^{k+1} > 2k + 3$          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với $n= k + 1$, nghĩa là phải chứng minh

           ${2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5$

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với $2$, ta được:

       ${2^{k + 2}} > 4k + 6 \Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1$.

Vì $2k + 1> 0$ nên ${2^{(k + 1)+1}}> 2k + 5=2(k+1)+3$

Vậy ${2^{n+1}} > 2n + 3$ với mọi số tự nhiên $n ≥ 2$.

Bài 4 trang 83 sgk toán 11

Cho tổng ${S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n(n + 1)}}$ với $n\in {\mathbb N}^*$.

a) Tính ${S_1},{S_2},{S_3}$

b) Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & {S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} \cr & {S_2} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} = {2 \over 3} \cr & {S_3} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} = {3 \over 4} \cr}$

b) Từ câu a) ta dự đoán ${S_n} = {n \over {n + 1}}(1)$, với mọi $n\in {\mathbb N}^*$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi $n = 1$, vế trái là ${S_1} = {1 \over 2}$ vế phải bằng ${1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2}$. Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với $n\ge 1$, tức là 

                ${S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k(k + 1)}} = {k \over {k + 1}}$

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh

                  ${S_{k + 1}} = {{k + 1} \over {k + 2}}$

Ta có : ${S_{k + 1}} = {S_k} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}} = {k \over {k + 1}} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}}$

                     $= {{{k^2} + 2k + 1} \over {(k + 1)(k + 2)}} = {{k + 1} \over {k + 2}}$

tức là đẳng thức (1) đúng với $n = k + 1$.

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Bài 5 trang 83 sgk toán 11

 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi $n$ cạnh là ${{n(n - 3)} \over 2}$

Giải:

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi $n \in{\mathbb N}^*$, $n ≥ 4$.

Với $n = 4$, ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác thay $n = 4$ vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: ${{4(4 - 3)} \over 2} = 2$

Vậy khẳng định đúng với $n= 4$.

Giả sử khẳng định đúng với $n = k ≥ 4$, tức là đa giác lồi $k$ cạnh có số đường chéo là ${{k(k - 3)} \over 2}$