Bài 5 trang 77 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép.

Giải:

Số cách rút ra 13 con bài là \(C_{52}^{13}\). Như vậy \(n\left( \Omega  \right) = C_{52}^{13}\)

Kí hiệuA : “Trong 13 con bài có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép”.

Ta có \(n\left( A \right) = C_{13}^4.C_9^3.C_6^3 = {{13!} \over {4!{{\left( {3!} \right)}^3}}}\)             

Vậy \(P\left( A \right) = {{13!} \over {4!{{\left( {3!} \right)}^3}.C_{52}^{13}}} \approx 0,000002\)               

Bài 6 trang 77 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giả sử A và B là hai biến cố \({{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = a\). Chứng minh rằng

a) \({{P\left( {A \cap B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a;\)     

b) \({1 \over 2} \le a \le 1.\)    

Giải:

a)      Vì \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)\) nên

\({{P\left( {A \cap B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = {{P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a.\)

b)      Vì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \le P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Nên \(a = {{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\)           

Mặt khác, \(2P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \cup B} \right) + P\left( {A \cup B} \right) \ge P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Vậy \(a = {{P\left( {A \cup B} \right)} \over {P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \ge {1 \over 2}\)

Kết hợp với (1), ta có \({1 \over 2} \le a \le 1\)

Bài 7 trang 77 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho

a)      Cả hai quả đều đỏ ;

b)      Hai quả cùng màu ;

c)      Hai quả khác màu.

Giải:

Kí hiệu A: “Quả lấy từ hộp thứ nhất màuđỏ” ;

             B: “Quả lấy từ hộp thứ hai màuđỏ”.

Ta thấy A và B độc lập.

a)      Cần tính \(P\left( {A \cap B} \right)\). 

Ta có: \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = {3 \over 5}.{4 \over {10}} = 0,24\)

b)      Cần tính xác suất của \(C = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {\overline A  \cap \overline B } \right)\)

Do tính xung khắc và độc lập của các biến cố, ta có

\(\eqalign{
& P\left( C \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) \cr
& {\rm{ }} = {3 \over 5}.{4 \over {10}} + {2 \over 5}.{6 \over {10}} = 0,48. \cr}\) 

c)      Cần tính \(P\left( {\overline C } \right)\). Ta có \(P\left( {\overline C } \right) = 1 - P\left( C \right) = 1 - 0,48 = 0,52\)

Bài 8 trang 77 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho 5 đoạn thẳng với các độ dài 3, 5, 7, 9, 11 Chọn ngẫu nhiên ra ba đoạn thẳng.

a)      Mô tả không gian mẫu.

b)      Xác định biến cố A: “Ba đoạn thẳng chọn ra tạo thành một tam giác” và tính xác suất của A.

Giải:

a) Ω gồm \(C_5^3 = 10\) bộ ba đoạn thẳng khác nhau trong số năm đoạn thẳng đã cho.

\(\Omega = \left\{ \matrix{
\left( {3,5,7} \right);\left( {3,7,9} \right);\left( {3,9,11} \right);\left( {5,7,9} \right);\left( {5,7,11} \right); \hfill \cr
\left( {3,5,9} \right);\left( {3,5,11} \right);\left( {3,7,11} \right);\left( {5,9,11} \right);\left( {7,9,11} \right) \hfill \cr} \right\}\) 

b)      A gồm các bộ có tổng của hai số lớn hơn số còn lại.

\(A = \left\{ \matrix{
\left( {3,5,7} \right);\left( {3,7,9} \right);\left( {3,9,11} \right); \hfill \cr
\left( {5,7,9} \right);\left( {5,7,11} \right);\left( {5,9,11} \right);\left( {7,9,11} \right) \hfill \cr} \right\}\) 

Ta có \(n\left( A \right) = 7\)

Vậy \(P\left( A \right) = {{n\left( A \right)} \over {n\left( \Omega  \right)}} = {7 \over {10}} = 0,7\)

Giaibaitap.me