Bài 3.9 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng phương trình

a) \({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm ;

b) \(\cos 2x = \sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - {\pi  \over 6};\pi } \right)\) ;

c) \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0\) có nghiệm dương.

Giải:

a)     Xét \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) và hai số 0; 2.

b)     Xét \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) trên các khoảng \(\left( { - {\pi  \over 6};{\pi  \over 2}} \right){\rm{ , }}\left( {{\pi  \over 2};\pi } \right)\)

c)      Ta có, 

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1]              (1)

Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) =  - 3.4 < 0\)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệmthuộc (0; 1)

Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.

Bài 3.10 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Phương trình \({x^4} - 3{x^2} + 1 = 0\) có nghiệm hay không trong khoảng (-1; 3) ?

Giải:

Hướng dẫn: Xét \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^3} + 1 = 0\) trên đoạn [-1; 1]

Trả lời : Có. 

Bài 3.11 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) ;

b) \(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)    

Giải:

a) \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)    

\(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có \(f\left( { - 1} \right) =  - 1 < 0\) và \(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { - 1} \right)f\left( { - 2} \right) < 0\) với mọi m.

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.

b) \(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)    

HD : Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right]\)

Giaibaitap.me