Bài 3.5 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}$ tại x = 4 ;

b)

$g\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \le 1 \hfill \cr - 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.$ tại x = 1

Giải:

a)     Hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}$ có tập xác định là  ${\rm{[}} - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty )$. Do đó, nó xác định trên khoảng $\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)$ chứa x = 4

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \sqrt {x + 5}  = 3 = f\left( 4 \right)$ nên $f\left( x \right)$ liên tục tại x = 4

b)     Hàm số:  $g\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \le 1 \hfill \cr  - 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.$ tại x = 1 có tập xác định là R

Ta có, $g\left( 1 \right) =  - 2$        (1)

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)} \over {1 - x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \sqrt {2 - x} - 1} \right) = - 2 \cr}$         (2)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x} \right) =  - 2$        (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) =  - 2 = g\left( 1 \right)$

Vậy g(x) liên tục tại x = 1

Bài 3.6 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a)

$f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr 2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.$ ;

b)

$g\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr 3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.$

Giải:

a) $f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr  2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.$ ;   

Tập xác định của hàm số là D = R

- Nếu $x \ne \sqrt 2$ thì $f\left( x \right) = {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}$

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right)$ và $\left( {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)$

- Tại $x = \sqrt 2$ :

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \over {x - \sqrt 2 }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 = f\left( {\sqrt 2 } \right) \cr}$

Vậy hàm số liên tục tại $x = \sqrt 2$ 

Kết luận : $y = f\left( x \right)$ liên tục trên R

b)  $g\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr  3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.$    có tập xác định là D = R

- Nếu $x \ne 2$ thì $g\left( x \right) = {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$ là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ,2} \right)$ và $\left( {2, + \infty } \right)$

Tại x = 2 : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} =  - \infty$

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ không liên tục tại x = 2

Kết luận : $y = g\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ,2} \right)$ và $\left( {2, + \infty } \right)$ nhưng gián đoạn tại x = 2

Bài 3.7 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm giá trị của tham số m để hàm số

$f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{{x^2} - x - 2} \over {x - 2}},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr m{\rm{ , \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.$ liên tục tại x = 2

Giải:

m = 3

Bài 3.8 trang 169 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm giá trị của tham số m để hàm số

$f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{\sqrt x - 1} \over {{x^2} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 1 \hfill \cr {m^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 1 \hfill \cr} \right.$  liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Giải:

$m =  \pm {1 \over 2}$

Giaibaitap.me