Câu 31 trang 31 SGK Hình học 11 Nâng cao

Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'

Giải 

Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành trung điểm D’ của đoạn thẳng B’C’, và vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’. Đối với các đường trung tuyến còn lại cũng vậy

Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H ∈ BC)

Khi đó phép đồng dạng F biến thành đường thẳng AH thành đường thẳng A’H’

Vì AH ⊥ BC nên A’H ⊥ B’C’, nói cách khác A’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’. Đối với các đường cao khác cũng thế

Vì trực tâm tam giác là giao điểm của các đường cao nên trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A’B’C’

Nếu điểm O biến thành điểm O’ thì O’A’ = O’B’ = O’C’ = kOA = kOB = kOC, do đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’

Câu 32 trang 31 SGK Hình học 11 Nâng cao

Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau

Giải 

Giả sử cho n-giác đều A₁A₂…A_n và B₁B₂…B_n có tâm lần lượt là O và O’

Đặt \(k = {{{B_1}{B_2}} \over {{A_1}{A_2}}} = {{O'{B_1}} \over {O{A_1}}}\) .

Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và  C₁C₂…C_n  là ảnh của đa giác A₁A₂…A_n qua phép vị tự V

Hiển nhiên C₁C₂…C_ncũng là đa giác đều và vì \({{{C_1}{C_2}} \over {{A_1}{A_2}}} = k\) nên C₁C₂ = B₁B₂

Vậy hai n-giác đều C₁C₂…C_n và B₁B₂…B_n có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến C₁C₂…C_n thành B₁B₂…B_n

Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng dạng biến A₁A₂…A_n thành B₁B₂…B_n

Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau

Câu 33 trang 32 SGK Hình học 11 Nâng cao

Dựng tam giác ABC nếu biết hai góc \(\widehat B = \beta ,\,\,\,\,\widehat C = \gamma \) và một trong các yếu tố sau:

b. Đường cao trung tuyến AM = m

c. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp

Giải 

Ta chú ý rằng có thể dựng rất nhiều tam giác ABC với hai góc B và C bằng hai góc β và γ đã cho, nhưng các tam giác đó đều đồng dạng với nhau

Vậy ta chỉ cần  chọn trong các tam giác thỏa mãn các điều kiện về yếu tố thứ ba đã cho

Ta suy cách dựng:

a. Dựng tam giác AB’C’ có hai góc B’ và C’ lần lượt bằng β và γ. Cụ thể như sau:

Dựng đoạn thẳng B’C’ tùy ý

Trên một nửa mặt phẳng có bờ B’C’ dựng tia B’x và C’y sao cho \(\widehat {xB'C'} = \beta \) và \(\widehat {yC'B'} = \gamma \)

Hai tia đó cắt nhau tại A và ta có tam giác AB’C’

Dựng đường cao AH’ của tam giác AB’C’

Nếu AH’ = h thì AB’C’ là tam giác cần dựng

Nếu AH’ ≠ h thì trên tia AH’, ta lấy điểm H sao cho AH = h rồi dựng đường thẳng a vuông góc với AH tại H, cắt AB’ tại B và cắt AC’ tại C

Tam giác cần dựng là ABC

b. Tương tư như câu a0

c. dựng tam giác AB’C’ như câu a) rồi dựng tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’

Trên tia AO’ lấy điểm O sao cho AO = R rồi dựng đường tròn (O) đi qua A ( tức là có bán kính bằng R)

Hai tia AB’ và AC lần lượt cắt (O) tại các điểm B và C (khác A)

ABC là tam giác cần dựng

Giaibaitap.me