Bài 2.5 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n) với \(\left( {{u_n}} \right) = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\)

a)      Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b)      Tìm công thức truy hồi ;

c)      Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Giải:

a)      Học sinh tự giải.

b)      HD: Tìm hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\)

ĐS: 

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){2^n}{\rm\,\,{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

c)      HD: Xét dấu \({u_{n + 1}} - {u_n}\)

Bài 2.6 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Các dãy số (u_n), (v_n)được xác định bằng công thức 

a) \(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3}{\rm{ voi }}n \ge 1; \hfill \cr} \right.\)    

b) \(\left\{ \matrix{
{v_1} = 2 \hfill \cr 
{v_{n + 1}} = v_n^2{\rm{ }}voi{\rm{ }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)    

Tìm công thức tính (u_n), (v_n) theo n. Tính số hạng thứ 100 của dãy số (u_n). Hỏi số 4294967296 là số hạng thứ mấy của dãy số (v_n)

Giải:

a)      Từ \({u_{n + 1}} - {u_n} = {n^3}\) ta có

\(\eqalign{
& {u_1} = 1; \cr
& {u_2} - {u_1} = {1^3}; \cr
& {u_3} - {u_2} = {2^3}; \cr
& ... \cr
& {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} = {\left( {n - 2} \right)^3}; \cr
& {u_n} - {u_{n - 1}} = {\left( {n - 1} \right)^3}. \cr} \) 

Cộng từng vế n đẳng thức trên và rút gọn, ta được

\({u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + ... + {\left( {n - 1} \right)^3}\)                    

Sử dụng kết quả bài tập 12 b) - ta có

\({1^3} + {2^3} + ... + {\left( {n - 1} \right)^3} = {{{{\left( {n - 1} \right)}^2}{n^2}} \over 4}\)           

Vậy

\(\eqalign{
& {u_n} = 1 + {{{n^2}{{\left( {n - 1} \right)}^2}} \over 4}. \cr
& {u_{100}} = 24502501. \cr} \)

b)      Hãy viết một vài số hạng đầu của dãy và quan sát

\(\eqalign{
& {v_1} = 2; \cr
& {v_2} = v_1^2 = {2^2}; \cr
& {v_3} = v_2^2 = {2^4} = {2^{{2^2}}}; \cr
& {v_4} = v_3^2 = {2^8} = {2^{{2^3}}} \cr} \)

Từ đây dự đoán \({v_n} = {2^{{2^{n - 1}}}}\)

Công thức trên dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Số 4294967296 là số hạng thứ sáu của dãy số (v_n)

Bài 2.7 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A :

$$A = \left\{ {{A_0},{A_1},{A_2},...,{A_n}} \right\}$$

Gọi B là điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A.

Đặt u_n là số các tam giác được tạo thành từ B và hai trong số n + 1 điểm \({A_0},{A_1},{A_2},...,{A_n}\) rồi lập dãy số u_n

a)      Tính \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4}\) ;

b)      Chứng minh rằng \({u_n} = C_{n + 1}^2\) và \9{u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1\)

Giải:

a)  

\(\eqalign{
& {u_1} = 1 \cr
& {u_2} = 3 \cr
& {u_3} = 6 \cr
& {u_4} = 10 \cr} \)   

b)      Số các tam giác u_n tạo thành từ B và n + 1 điểm chính là số tổ hợp chập 2 của n + 1 phần tử:

Áp dụng công thức \(C_n^k = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k - 1}\)

Ta có \(C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^2 + C_{n + 1}^1\)

Hay \({u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1\)

Bài 2.8 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (u_n) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N* thì \(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - {1 \over {4{u_n}}}\)

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Giải:

Vì \(0 < {u_n} < 1\) với mọi n nên \(1 - {u_{n + 1}} > 0\). 

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le {1 \over 4}\)

Mặt khác, từ giả thiết \({u_{n + 1}} < 1 - {1 \over {4{u_n}}}\)

suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - {1 \over 4}\) hay \({1 \over 4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\)

So sánh (1) và (2) ta có:

\({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n}\) 

Giaibaitap.me