Bài 2.10 trang 70 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:

a) (SAC) và (SBD);

b) (SAB) và (SCD);

c) (SAD) và (SBC)

Giải:

(h.2.28)

a)

Ta có:  

\(\left\{ \matrix{
S \in \left( {SAC} \right) \hfill \cr
S \in \left( {SB{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)

Giả sử:

\(AC \cap B{\rm{D}} = O \Rightarrow \left\{ \matrix{
O \in \left( {SAC} \right) \hfill \cr
O \in \left( {SB{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) \cr
& \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SO \cr} \)

b)  Ta có :

\(\left\{ \matrix{
S \in \left( {SAB} \right) \hfill \cr
S \in \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)

Ta lại có

\(\left\{ \matrix{
AB \subset \left( {SAB} \right) \hfill \cr
C{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
AB\parallel C{\rm{D}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = Sx\) và \(S{\rm{x}}\parallel AB\parallel CD\).

c) Lập luận tương tự câu b)  ta có \( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sy\) và \(Sy\parallel AD\parallel BC\).

Bài 2.11 trang 70 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (DBC) và (DMN).

Giải:

(h.2.29)

\(\left\{ \matrix{
M \in AB \hfill \cr 
N \in AC \hfill \cr} \right. \Rightarrow MN \subset \left( {ABC} \right)\)

Trong tam giác ABC ta có:

\({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AC}} \Rightarrow MN\parallel BC\)

Hiển nhiên \(D \in \left( {DBC} \right) \cap \left( {DMN} \right)\)

\(\left\{ \matrix{
BC \subset \left( {DBC} \right) \hfill \cr
MN \subset \left( {DMN} \right) \hfill \cr
BC\parallel MN \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {DBC} \right) \cap \left( {DMN} \right) = Dx\) và \(Dx\parallel BC\parallel MN\)

Bài 2.12 trang 70 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC , M  là một điểm tùy ý trên cạnh AD.

a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD)

b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và IM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ).

Giải:

(h.2.30)

a)

\(\left\{ \matrix{
M \in \left( {MIJ} \right) \hfill \cr
M \in AD \Rightarrow M \in \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow M \in \left( {MIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right)\)

Ta cũng có:

\(\left\{ \matrix{
IJ\parallel AB \hfill \cr
IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr
AB \subset \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right.\) 

\( \Rightarrow \left( {MIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right) = d = Mt\) và \(Mt\parallel AB\parallel IJ\)

b) Ta có: \(Mt\parallel AB \Rightarrow Mt \cap BD = N\)

\(IN \cap JM = K \Rightarrow \left\{ \matrix{
K \in IN \hfill \cr
K \in JM \hfill \cr} \right.\)

Vì \(K \in IN \Rightarrow K \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)

Và \(K \in JM \Rightarrow K \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)

Mặt khác \(\left( {BC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\) do đó \(K \in C{\rm{D}}\). Do vậy K nằm trên hai nửa đường thẳng Cm và Dn thuộc đường thẳng CD. ( Để  ý rằng nếu M là trung điểm của AD thì sẽ không có điểm K.)

c) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
K \in \left( {ABK} \right) \hfill \cr
K \in IN \Rightarrow K \in \left( {MIJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {ABK} \right) \cap \left( {MIJ} \right)\)

Mà

\(\left\{ \matrix{
AB \subset \left( {ABK} \right) \hfill \cr
IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr
AB\parallel IJ \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {ABK} \right) \cap \left( {MIJ} \right) = Kx\) và \(K{\rm{x}}\parallel AB\parallel IJ\)

Giaibaitap.me