Bài 1.1 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Biết rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \left| {{u_n}} \right|\) cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúngkhông ?

Giải:

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0 nên \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳý, kể từ một số hạng nàođó trởđi.

Mặt khác, \(\left| {{v_n}} \right| = \left| {\left| {{u_n}} \right|} \right| = \left| {{u_n}} \right|\). Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy, \(\left( {{v_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).

Bài 1.2 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Vì sao dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\) không thể có giới hạn là 0 khi \(n \to  + \infty \)  ?

Giải:

Vì \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^n}} \right| = 1\) nên \(\left| {{u_n}} \right|\) không thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn, \(\left| {{u_n}} \right|\) không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n.

Do đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không thể có giới hạn là 0. 

Bài 1.3 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho biết dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn, còn dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn. Dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có thể có giới hạn hữu hạn không ?

Giải:

Dãy  \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.

Thật vậy, giả sử ngược lại,  \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn.

Khi đó, các dãy số  \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\left( {{u_n}} \right)\) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúngcũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là \({u_n} + {v_n} - {u_n} = {v_n}\) có giới hạn hữu hạn. Điều này trái với giả thiết \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.

Bài 1.4 trang 153 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a)     Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết \(\lim {u_n} =  - \infty \) và \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy  (v_n) khi \(n \to  + \infty \) ?

b)     Tìm v_n với \({v_n} =  - n!\)

Giải :

a)     Vì \(\lim {u_n} =  - \infty \) nên \(\lim \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \). Do đó, \(\left( { - {u_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.    (1)

Mặt khác, vì \({v_n} \le {u_n}\) với mọi n nên \(\left( { - {v_n}} \right) \ge \left( { - {u_n}} \right)\) với mọi n.    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( { - {v_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, \(\lim \left( { - {v_n}} \right) =  + \infty \) hay \(\lim {v_n} =  - \infty \)

b)     Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right) =  - n\)

Ta có - n! <  - n hay \({v_n} < {u_n}\) với mọi n. Mặt khác, \(\lim {u_n} = \lim \left( { - n} \right) =  - \infty \)

Từ kết quả câu a) suy ra \(\lim {v_n} = \lim \left( { - n!} \right) =  - \infty \)

Giaibaitap.me