Bài 1.9 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\). Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

a)  \({u_n} = {1 \over {n!}}\) ;

b) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {2n - 1}}\) ;

c) \({u_n} = {{2 - n{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {1 + 2{n^2}}}\) ;

d) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\cos n\)      ;

e) \({u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi \)   

Giải:

a)     Vì \(\left| {{1 \over {n!}}} \right| < {1 \over n}\) với mọi n và \(\lim {1 \over n} = 0\) nên \(\lim {1 \over {n!}} = 0\)

b)     0 ;             c) 0 ;                   d) 0 ;

e)     Ta có \({u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi  = {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right)\)    (1)

Vì \(\left| {{{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right| \le {1 \over {{5^n}}}\) và \(\lim {1 \over {{5^n}}} = 0\) nên \(\lim {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}} = 0\)

Do đó, \(\lim \left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = 1 > 0\)      (2)

Mặt khác,  \(\lim {5^n} =  + \infty \)    (3)           

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\lim \left( {{5^n} - \cos \sqrt n \pi } \right) = \lim {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) =  + \infty \)

Bài 1.10 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xácđịnh bởi công thức truy hồi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng  có giới hạn hữu hạn khi  Tìm giới hạn đó.

Giải :

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm\,\,{ vớii }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta có, \({u_1} = 2,\,\,{u_2} = {3 \over 2},\,\,{u_3} = {5 \over 4},\,\,{u_4} = {9 \over 8},\,\,{u_5} = {{17} \over {16}}\)

Dự đoán, \({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\) với \(n \in N*\)

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).

Từ đó, 

\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}} \cr
& = \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n - 1}}} \right] \cr
& = \lim \left[ {1 + 2.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \right] = 1 \cr}\)

Bài 1.11 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(1, - {1 \over 2},{1 \over 4}, - {1 \over 8},...,{\left( { - {1 \over 2}} \right)^{n - 1}},...\)

Giải :

ĐS: 

\({2 \over 3}\)

Bài 1.12 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính tổng \(S = 1 + 0,9 + {\left( {0,9} \right)^2} + {\left( {0,9} \right)^3} + ... + {\left( {0,9} \right)^{n - 1}} + ...\)

Giải:

ĐS: 10

Giaibaitap.me