Bài 1 trang 7 sách giáo khoa hình học 11

Chứng minh rằng: \(M'\) = \(T_{\vec{v}}\)(M) \(⇔ M =  T_{\vec{-v}}(M')\)

Lời giải:

\(M'\) = \(T_{\vec{v}}\)\( (M)\) ⇔ \(\overrightarrow{MM'}\) = \(\overrightarrow{v}\) ⇔\(\overrightarrow{M'M}\) =\(\vec{-v}\)

 ⇔ \(M\) = \(T_{\vec{-v}} (M')\)

Bài 2 trang 7 sách giáo khoa hình học 11

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\). Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) biến D thành A.

Lời giải:

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có \(\overrightarrow{AG}\) = \(\overrightarrow{BB'}\) = \(\overrightarrow{CC'}\)

. Suy ra \(T_{\vec{AG}} (A) = G\), \(T_{\vec{AG}} (B) = B'\), \(T_{\vec{AG}} (C)= C'\).

Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) là tam giác GB'C'.

- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có \(\overrightarrow{DA}\) = \(\overrightarrow{AG}\). Do đó, \(T_{\vec{AG}} (D) = A\)

Bài 3 trang 7 sách giáo khoa hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(v = ( -1;2)\), hai điểm \(A(3;5)\), \(B( -1; 1)\) và đường thẳng d có phương trình \(x-2y+3=0\).

a. Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

c. Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

Lời giải:

a) Giả sử \(A'=(x'; y')\). Khi đó

\(T_{\vec{v}} (A) = A'\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.\)

Do đó: \(A' = (2;7)\)

Tương tự \(B' =(-2;3)\)

b) Ta có \(A = T_{\vec{v}} (C)\) ⇔ \(C= T_{\vec{-v}} (A) = (4;3)\)

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi \(M(x;y)\), \(M' = T_{\vec{v}} =(x'; y')\). Khi đó \(x' = x-1, y' = y + 2\) hay \(x = x' +1, y= y' - 2\). Ta có \(M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0\)\( ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d'\)

\((d)\) có phương trình \(x-2y+8=0\). Vậy \(T_{\vec{v}}(d) = d'\)

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(T_{\vec{v}}(d) =d'\). Khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên phương trình của nó có dạng \(x-2y+C=0\). Lấy một điểm thuộc \(d\) chẳng hạn \(B(-1;1)\), khi đó \(T_{\vec{v}}(B) = (-2;3)\) thuộc \(d'\) nên \(-2 -2.3 +C =0\). Từ đó suy ra \(C = 8\).

Bài 4 trang 7 sách giáo khoa hình học 11

Cho hai đường thẳng \(a\) và\(b\) song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến \(a\) thành \(b\). Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?

Lời giải:

Giả sử \(a\) và \(b\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{v}\)

. Lấy điểm \(A\) bất kì thuộc \(a\) và điểm \(B\) bất kì thuộc \(b\). Với mỗi điểm \(M\), gọi \(M'\) = \(T_{\vec{AB}}\) \((M)\) . Khi đó \(\overrightarrow{MM'}\)= \(\overrightarrow{AB}\). Suy ra \(\overrightarrow{AM}\) = \(\overrightarrow{BM'}\)

Ta có:

\(M ∈ a ⇔\) \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương với \(\overrightarrow{v}\) ⇔ \(\overrightarrow{BM'}\)  cùng phương với \(\overrightarrow{v}\) \(⇔ M' ∈  b\).

Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{AB}\) biến \(a\) thành \(b\).

Vì \(A,B\) là các điểm bất kì  ( trên \(a\) và \(b\) tương ứng) nên có vô số phép tịnh tiến biến \(a\) thành \(b\).

Giaibaitap.me