Bài 1 trang 23 sách giáo khoa hình học lớp 11

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho các điểm $A(-3;2), B(-4;5)$ và $C(-1;3)$

a) Chứng minh rằng các điểm $A'(2;3), B'(5;4)$ và $C'(3;1)$ theo thứ tự là ảnh của $A, B$ và $C$ qua phép quay tâm $O$ góc -$90^{\circ}$.

b) Gọi tam giác ${A_{1}}$${B_{1}}$${C_{1}}$ là ảnh của tam giác $ABC$ qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$ góc - $90^{\circ}$ và phép đối xứng qua trục $Ox$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ${A_{1}}^{}$${B_{1}}^{}$${C_{1}}^{}$

Lời giải:

a) (hình bên) 

Gọi $r = OA, α$ là góc lượng giác $(Ox, OA)$, $β$ là góc lượng giác $(Ox, OA')$. Giả sử $A'= ( x'; y')$. Khi đó ta có:

$β = α -$$90^{\circ}$, $x = r cos α, y = r sin α$

Suy ra

$x' = r cos β = r cos ( α -$ $90^{\circ}$)$= r sinα = y$

$y' = r sin β = r sin ( α -$ $90^{\circ}$) $= - r cos α= - x$

Do đó phép quay tâm $O$ góc - $90^{\circ}$ biến $A(-3;2)$ thành $A'(2;3)$. Các trường hợp khác làm tương tự

b) ( hình 1.26)

Gọi tam giác ${A_{1}}^{}$${B_{1}}^{}$${C_{1}}^{}$ là ảnh của tam giác $A'B'C'$ qua phép đối xứng trục $Ox$. Khi đó ${A_{1}}^{}$(2;-3), ${B_{1}}^{}$ (5;-4), ${C_{1}}^{}$(3;-1) là đáp số cần tìm.

Bài 2 trang 24 sách giáo khoa hình học 11

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $E, F, H, K, O, I, J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO$. Chứng minh hai hình thang$AEJK$ và $FOIC$ bằng nhau.

Lời giải:

Gọi $L$ là trung điểm của đoạn thẳng $OF$. Ta thấy phép đối xứng qua đường thẳng $EH$ biến hình thang $AEJK$ thành hình thang $BELF$, phép tịnh tiến theo vectơ $BF$ biến hình thang $BELF$ thành hình thang $FOIC$. Như vậy phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép biến hình trên, sẽ biến hình thang $AEJK$ thành hình thang $FOIC$. Do đó hai hình thang $AEJK$ và $FOIC$ bằng nhau.

Bài 3 trang 24 sách giáo khoa hình học 11

 Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác $ABC$ tương ứng thành trọng tâm của tam giác $A'B'C'$

Lời giải:

Gọi phép dời hình đó là $f$. Do $f$ biến các đoạn thẳng $AB, AC$ tương ứng thành các đoạn thẳng $A'B', A'C'$ nên nó cũng biến các trung điểm $M, N$ của các đoạn thẳng $AB, AC$ tương ứng theo thứ tự thành các trung điểm $M', N'$ của các đoạn thẳng $A'B', A'C'$. Vậy $f$ biến các trung tuyến $CM, BN$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành các trung tuyến $C'M', B'N'$ của tam giác $A'B'C'$. Từ đó suy ra $f$ biến trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ của $CM$ và $BN$ thành trọng tâm $G'$ của tam giác $A'B'C'$ là giao của $C'M'$ và $B'N'$.

Giaibaitap.me