Bài 1 trang 28 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a)  \( sin (x + 2) =\frac{1}{3}\) 

b) \( sin 3x = 1\) 

c) \( sin (\frac{2x}{3} -\frac{\pi}{3}) =0\)

d) \(sin (2x + 20^0) =-\frac{\sqrt{3}}{2}\) 

Giải:

a)

\(sin (x + 2) =\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x+2=arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\ \\ x+2=\pi -arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\) 

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\)

và \(x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\)

b)

\(sin 3x = 1 \Leftrightarrow sin3x=sin\frac{\pi }{2}\)

\(\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k2 \pi ,k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})\)

Câu c:

\(sin\left ( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right )=0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}= k\pi, k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k \pi,k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}, k\in Z\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2}, k\in Z\)

d)

\(sin(2x+20^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin (2x +20^0) = sin(-60^0)\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ 2x+20^0=240^0+k360^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-40^0+k180^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=110^0+k180^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-40^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})\); \(x=110^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})\)

Bài 2 trang 28 sgk giải tích 11

Với những giá trị nào của \(x\) thì giá trị của các hàm số \(y = sin3x\) và \(y = sin x\) bằng nhau?

Giải

 \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi                   

\(\sin 3x = sinx \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x = x + k2\pi \hfill \cr
3x = \pi - x + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\).

Vậy \(\left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr 
x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3 trang 28 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \( cos (x - 1) =\frac{2}{3}\)                      

b) \(cos 3x = cos 12^0\) 

c)  \(cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}\)

d) \(cos^22x =\frac{1}{4}\)

Trả lời:

 a)            

\(cos (x - 1) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x - 1 = arccos \frac{2}{3} + k2\pi\\ \\ x - 1 = - arccos \frac{2}{3} + k2\pi \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x = 1 + arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z) \\ \\ x = 1 - arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z). \end{matrix}\)

Vậy nghiệm phương trình là \(x = 1 + arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z)\) hoặc \(x = 1 - arccos \frac{2}{3} + k2\pi , (k \in Z).\)

 b)

\(cos 3x = cos 12^0\Leftrightarrow 3x = \pm 12^0 + k360^0 (k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow x = \pm 4^0 + k120^0 , (k \in Z).\)

Vậy nghiệm phương trình là \(x = \pm 4^0 + k120^0 , (k \in Z).\)

c)

\(cos\left ( \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\left ( \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4} \right )=cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3} \right )\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+k2 \pi\\ \\ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{2\pi }{3}+k2 \pi \end{matrix},(k\in \mathbb{Z})\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{11\pi }{18}+k.\frac{4\pi }{3} \\ \\ x=-\frac{5\pi}{18}+k.\frac{4\pi }{3} \end{matrix},(k\in \mathbb{Z})\)

Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{11\pi }{18}+\frac{4 k\pi }{3}\) và \(x=-\frac{5\pi}{18}+\frac{4 k\pi }{3} (k\in \mathbb{Z})\)

d)

\(cos^22x =\frac{1}{4}\Leftrightarrow\)

\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=\frac{1}{2}\\ \\ cos2x=-\frac{1}{2} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=cos \frac{\pi }{3}\\ \\ cos2x= cos\frac{2\pi }{3} \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\pm \frac{\pi }{3} + k2 \pi\\ \\ 2x=\pm \frac{2\pi }{3} + k2 \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \pm \frac{\pi }{6} +k \pi\\ \\ x= \pm \frac{\pi }{3} +k \pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm phương trình là \(x= \pm \frac{\pi }{6} +k \pi\) và \(x= \pm \frac{\pi }{3} +k \pi, k\in \mathbb{Z}\).

Bài 4 trang 29 sgk giải tích 11

Giải phương trình \({{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\)

Giải:

 Điều kiện \(sin2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \frac{\pi }{2}+k2 \pi\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{4}+k \pi(k\in \mathbb{Z})\)

\({{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0\Rightarrow 2cos2x=0\) 

Phương trình đã cho tương đương với:

\(cos2x=0 \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi\\ \\ 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k\pi \ \ (loai)\\ \\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z}) \end{matrix}\)

Vậy nghiệm phương trình là \(x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\).

Giaibaitap.me