Bài 1 trang 36 sgk giải tích 11

Giải phương trình 

\({\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = 0\).

Đáp án :

\({\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = 0 \Leftrightarrow sinx(sinx - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = 0}} \hfill \cr
{\rm{sin x = 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb{Z}\)

Bài 2 trang 36 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

 a)\(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);                            

b) \(2sin2x{\rm{ }} + \sqrt 2 sin4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

Giải

 a) Đặt \( t = cosx, t \in [-1 ; 1]\) ta được phương trình:

\(2{t^2} - {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t \in \left\{ {1;{1 \over 2}} \right\}\)

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

\(cosx = 1 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}k2\pi \) và \(cosx = {1 \over 2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} =  \pm {\pi  \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \).

 Vậy \(x = {\rm{ }}k2\pi \) và \(x{\rm{ }} =  \pm {\pi  \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \) \((k\in\mathbb{Z})\).

b) Ta có \(sin4x = 2sin2xcos2x\) (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với

\(\left[ \matrix{
\sin 2x = 0 \hfill \cr
\cos 2x = - {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = k\pi \hfill \cr
2x = \pm {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{k\pi } \over 2} \hfill \cr
x = \pm {{3\pi } \over 8} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Bài 3 trang 37 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(si{n^2}{x \over 2} - {\rm{ }}2cos{x \over 2} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

b) \(8co{s^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinx{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

c) \(2ta{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3tanx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);          

d) \(tanx{\rm{ }} - {\rm{ }}2cotx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

Giải

a) Đặt \(t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\) thì phương trình trở thành

\((1{\rm{ }} - {\rm{ }}{t^2}){\rm{ }} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}2t{\rm{ }} - 3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 3 \hfill \text{(loại)}\cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương đương với

\(cos{x \over 2} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow {x \over 2} = {\rm{ }}k2\pi  \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}4k\pi ,{\rm{ }}k \in\mathbb{Z} \).

 b) Đặt \(t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]\) thì phương trình trở thành

\(8(1{\rm{ }} - {t^2}){\rm{ }} + {\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}8{t^{2}} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {1 \over 2} \hfill \cr
t = - {1 \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương đương :

\(sinx = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin x = {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

và

\(sinx = - {1 \over 4} \Leftrightarrow \sin x = arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right) + k2\pi \hfill \cr
x = \pi - arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

c) Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành 

\(2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - 1 \hfill \cr
t = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương đương:

\(\left[ \matrix{
\tan x = - 1 \hfill \cr
\tan x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left( { - {1 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

d) Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành 

\(t - {2 \over t} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}t{\rm{ }} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương đương:

\(\left[ \matrix{
{\mathop{\rm tanx}\nolimits} = 1 \hfill \cr
tanx = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan ( - 2) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

Bài 4 trang 37 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

b) \(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\);

c) \(si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\) ;

d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\).

Giải

a) Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương \(2tan^2x + tanx - 3 = 0\).

Đặt \(t = tanx\) thì phương trình này trở thành

\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đã cho tương đương:

\(\left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

b)\(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)

\(\Leftrightarrow 3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2si{n^2}x{\rm{ }}\)

\(+ {\rm{ }}2co{s^2}x\)

\(\Leftrightarrow sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0\)

Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương 

\(\Leftrightarrow tan^2x - 4tanx + 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

c) \(si{n^2}x{\rm{ }}+{\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\)

 \(\Leftrightarrow si{n^2}x{\rm{ }} + 2sinxcosx- {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} =\)

\({1 \over 2}(sin^2x+cos^2x)\)

\({1 \over 2}si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinxcosx{\rm{ }} -{5\over 2}co{s^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow si{n^2}x +4\sin x\cos x - 5{\cos ^2}x = 0\)

Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương 

\(\tan x + 4\tan x - 5= 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = -5 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan (-5)+ k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\)

\(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4{\sin ^2}x = 0\)

\(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4(1 - {\cos ^2}x) = 0\)

\(\Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\)

\(\Leftrightarrow 6\cos x(\cos x - \sqrt 3 \sin x) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0(1) \hfill \cr
\cos x - \sqrt 3 \sin x = 0(2) \hfill \cr} \right.\)

Giải (1) ta được \(x={\pi\over 2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\))

Giải (2): Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình nên chia phương trình cho \(cosx\) ta được phương trình tương đương:  

\(tanx={1\over\sqrt3}\Leftrightarrow x={\pi\over6}+k\pi(k\in\mathbb{Z})\)

Giaibaitap.me