Bài 5 trang 37 sgk giải tích 11

 Giải các phương trình sau:

a) $cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2$;  

b) $3sin3x - 4cos3x = 5$;

c) $2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0$;                          

d) $5cos2x + 12sin2x -13 = 0$.

Giải

a) $cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2$ 

$\Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = {{\sqrt 2 } \over 2}$

$\Leftrightarrow \cos x.\cos {\pi  \over 3} - \sin x\sin {\pi  \over 3} = \cos {\pi  \over 4}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) = \cos {\pi  \over 4}$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + {\pi \over 3} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr x + {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )$

b) $3sin3x - 4cos3x = 5$

$\Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1$

Đặt $\alpha =arccos{3\over5}$ thì phương trình trở thành

$cosαsin3x - sinαcos3x = 1$$⇔ sin(3x - α) = 1$

$⇔ 3x - α = {\pi\over2} + k2π$

$\Leftrightarrow x = {\pi  \over 6} + {\alpha  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}(k \in \mathbb{Z})$

c) $2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0$

$\Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2}$

$\Leftrightarrow \sin 2x.\cos {\pi  \over 4} + \cos 2x.\sin {\pi  \over 4} = \sin {\pi  \over 6}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi  \over 4}} \right) = \sin {\pi  \over 6}$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x + {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr 2x + {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})$

d) $5cos2x + 12sin2x -13 = 0$

$\Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1$

Đặt $\alpha = arccos{5\over13}$ thì phương trình trở thành

$cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x - α) = 1$

$⇔ 2x-\alpha = k2π$ $\Leftrightarrow x={\alpha\over2}+k\pi$, $(k ∈ \mathbb{Z})$

(trong đó $α = arccos{5\over13})$.

Bài 6 trang 37 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a. $tan (2x + 1)tan (3x - 1) = 1$;                    

b. $\tan x + \tan \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 1$

Lời giải:

a) $tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1$

$\tan (2x + 1) = {1 \over {\tan (3x - 1)}}$

$\Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \cot (3x - 1)$

$\Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \tan \left( {{\pi  \over 2} - 3x + 1} \right)$

$\Leftrightarrow 2x + 1 = {\pi  \over 2} - 3x + 1 + k\pi$

$\Leftrightarrow x = {\pi  \over {10}} + {{k\pi } \over 5}(k \in\mathbb{Z} )$.

b) $\tan x + \tan \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 1$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + \tan {\pi \over 4}} \over {1 - \tan x.\tan {\pi \over 4}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + 1} \over {1 - \tan x}} = 1 \cr}$

Đặt $t = tan x$, (điều kiện $t  ≠ 1$)phương trình trở thành

$t + \frac{t+1}{1-t}$= 1

$\Leftrightarrow - {t^2} + 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 0 \hfill \cr t = 3 \hfill \cr} \right.\text{(thỏa mãn)}$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 0 \hfill \cr \tan x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})$

Giaibaitap.me