Bài 5 trang 37 sgk giải tích 11

 Giải các phương trình sau:

a) \(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\);  

b) \(3sin3x - 4cos3x = 5\);

c) \(2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0\);                          

d) \(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\).

Giải

a) \(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\) 

\( \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow \cos x.\cos {\pi  \over 3} - \sin x\sin {\pi  \over 3} = \cos {\pi  \over 4}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) = \cos {\pi  \over 4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + {\pi \over 3} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr
x + {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr
x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

b) \(3sin3x - 4cos3x = 5\)

\( \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1\)

Đặt \(\alpha =arccos{3\over5}\) thì phương trình trở thành

\(cosαsin3x - sinαcos3x = 1\)\( ⇔ sin(3x - α) = 1\)

\( ⇔ 3x - α = {\pi\over2} + k2π\)

\( \Leftrightarrow x = {\pi  \over 6} + {\alpha  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}(k \in \mathbb{Z})\)

c) \(2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0\)

\(\Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2}\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x.\cos {\pi  \over 4} + \cos 2x.\sin {\pi  \over 4} = \sin {\pi  \over 6}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi  \over 4}} \right) = \sin {\pi  \over 6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
2x + {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr
x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

d) \(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\)

\( \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1\)

Đặt \(\alpha = arccos{5\over13}\) thì phương trình trở thành

\(cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x - α) = 1\)

\(⇔ 2x-\alpha = k2π\) \(\Leftrightarrow x={\alpha\over2}+k\pi\), \((k ∈ \mathbb{Z})\)

(trong đó \(α = arccos{5\over13})\).

Bài 6 trang 37 sgk giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a. \(tan (2x + 1)tan (3x - 1) = 1\);                    

b. \(\tan x + \tan \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 1\)

Lời giải:

a) \(tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1\)

\(\tan (2x + 1) = {1 \over {\tan (3x - 1)}}\)

\(\Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \cot (3x - 1)\)

\( \Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \tan \left( {{\pi  \over 2} - 3x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2x + 1 = {\pi  \over 2} - 3x + 1 + k\pi \)

\( \Leftrightarrow x = {\pi  \over {10}} + {{k\pi } \over 5}(k \in\mathbb{Z} )\).

b) \(\tan x + \tan \left( {x + {\pi  \over 4}} \right) = 1\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + \tan {\pi \over 4}} \over {1 - \tan x.\tan {\pi \over 4}}} = 1 \cr
& \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + 1} \over {1 - \tan x}} = 1 \cr} \)

Đặt \(t = tan x\), (điều kiện \(t  ≠ 1\))phương trình trở thành

\(t + \frac{t+1}{1-t}\)= 1

\(\Leftrightarrow - {t^2} + 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right.\text{(thỏa mãn)}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 0 \hfill \cr
\tan x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

Giaibaitap.me