Bài 1 trang 162 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\);

b) \(y =  x^3- 2x + 1\) tại \(x_0= 2\).

Giải: 

a) Giả sử  \(∆x\)  là số gia của đối số tại \(x_0= 1\). Ta có:

\(∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = 7 + (1 + ∆x) - (1 + ∆x)^2\)

\(- (7 + 1 - 1^2) = -(∆x)^2- ∆x\) ;

\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = - ∆x - 1\) ; \(\mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\)  = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (- ∆x - 1) = -1\).

Vậy \(f'(1) = -1\).

b) Giả sử  \(∆x\)  là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(∆y = f(2 + ∆x) - f(2) = (2 + ∆x)^3-2(2 + ∆x) + 1 \)\(- (2^3- 2.2 + 1) = (∆x)^3+ 6(∆x)^2+ 10∆x\);

\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = (∆x)^2+ 6∆x + 10\); 

\(\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}[(∆x)^2+ 6∆x + 10] = 10\).

Vậy \(f'(2) = 10\).

Bài 2 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^5- 4 x^3+ 2x - 3\);

b) \(y =  \frac{1}{4} -  \frac{1}{3}x  + x^2 - 0,5x^4\);

c) \(y =  \frac{x^{4}}{2}\) - \( \frac{2x^{3}}{3}\) + \( \frac{4x^{2}}{5} - 1\) ;

d) \(y = 3x^5(8 - 3x^2)\).

Lời giải:

a) \(y' = 5x^4- 12x^2+ 2\).

b) \(y' =  -  \frac{1}{3} + 2x - 2x^3\)

c) \(y' = 2x^3- 2x^2+  \frac{8x}{5}\).

d) \(y = 24x^5- 9x^7=> y' = 120x^4- 63x^6\).

Bài 3 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {({x^{7}} - 5{x^2})^3}\);

b)\(y = ({x^2} + 1)(5 - 3{x^2})\);

c) \(y =  \frac{2x}{x^{2}-1}\);

d) \(y =  \frac{3-5x}{x^{2}-x+1}\);

e) \(y = \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}\) (\(m, n\) là các hằng số).

Lời giải:

a) \(y' = 3.{({x^7} - 5{x^2})^2}.({x^7} - 5{x^2})' = 3.{({x^{7}} - 5{x^2})^2}.(7{x^6} - 10x)\)

\(= 3x.{({x^{7}} - 5{x^2})^2}(7{x^5} - 10).\)

b) \(y = 5{x^2} - 3{x^4} + 5 - 3{x^2} =  - 3{x^4} + 2{x^2} + 5\), do đó \(y' =  - 12{x^3} + 4x =  - 4x.(3{x^2} - 1)\).

c) \(y' = \frac{\left ( 2x \right )'.\left ( x^{2}-1 \right )-2x\left ( x^{2}-1 \right )'}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}\) = \( \frac{2.\left ( x^{2}-1 \right )-2x.2x}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}\) = \( \frac{-2\left ( x^{2}+1 \right )}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}\).

d) \(y' =  \frac{\left ( 3-5x \right )'\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( x^{2}-x+1 \right )'}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}\) = \( \frac{-5\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( 2x-1 \right )}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}\) = \( \frac{5x^{2}-6x-2}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}\).

e) \(y' = 3. \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}\) .\( \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )'\) = 3.\( \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}\) \( \left ( -\frac{2n}{x^{3}} \right )\) = -\( \frac{6n}{x^{3}}\) .\( \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{2}\).

Bài 4 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^2 - x\sqrt x + 1\);

b) \(y = \sqrt {(2 - 5x -  x^2)}\);

c) \(y =  \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( \(a\) là hằng số);

d) \(y =  \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\).

Lời giải:

a) \(y' = 2x -  \left ( \sqrt{x}+x.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right )\) \(= 2x - \frac{3}{2}\sqrt{x}\).

b) \(y' =\frac{\left ( 2-5x-x^{2} \right )'}{2.\sqrt{2-5x-x^{2}}}\) = \( \frac{-5-2x}{2\sqrt{2-5x-x^{2}}}\).

c) \(y' =  \frac{\left ( x^{3} \right )'.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\left ( \sqrt{a^{2}-x^{2}} \right )}{a^{2}-x^{2}}\) = \( \frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\frac{-2x}{2\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}\) = \( \frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{x^{4}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}\) = \( \frac{x^{2}\left ( 3a^{2}-2x^{2} \right )}{\left ( a^{2} -x^{2}\right )\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\).

d) \(y' =  \frac{\left ( 1+x \right )'.\sqrt{1-x}-\left ( 1+x \right ).\left ( \sqrt{1-x} \right )'}{1-x}\) = \( \frac{\sqrt{1-x}-\left ( 1+x \right )\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}\) = \( \frac{2\left ( 1-x \right )+1+x}{2\left ( 1-x \right )\sqrt{1-x}}\) = \( \frac{3-x}{2\left ( 1-x \right )\sqrt{1-x}}\).

Bài 5 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Cho \(y = x^3-3x^2+ 2\). Tìm \(x\) để :

a) \(y' > 0\)

b) \(y' < 3\)

Lời giải:

\(y' = 3x^2- 6x\).

a) \(y' > 0 \Leftrightarrow 3x^2- 6x >0 \Leftrightarrow  3x(x - 2) > 0\)

\(\Leftrightarrow  x>2\) hoặc \(x<0\).

b) \(y' < 3 \Leftrightarrow    3x^2- 6x -3 < 0 \Leftrightarrow   x^2- 2x -1 < 0\)

\(\Leftrightarrow  1-\sqrt 2 < x < 1+\sqrt 2\).

Giaibaitap.me