Bài 4 trang 58 sgk đại số và giải tích 11

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {{x^3} + {1 \over x}} \right)^8}\)

Bài giải:

Ta có: \({\left( {{x^3} +4 {1 \over x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{3.(8 - k)}}{\left( {{1 \over x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\)

Trong tổng \(\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{24 - 4k}}\) số hạng không chứa \(x\) khi và chỉ khi

\(\left\{\begin{matrix} 24 - 4k = 0 & & \\ 0\leq k \leq 8& & \end{matrix}\right.\) \(⇔ k = 6\).

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là \({C^6}_8 = {\rm{ }}28\).

Bài 5 trang 58 sgk đại số và giải tích 11

Từ khai triển biểu thức \((3x – 4)^{17}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Bài giải:

Tổng các hệ số của đa thức \(f(x) = (3x – 4)^{17}\) bằng:

\(f(1) = (3 – 4)^{17}= (– 1)^{17} = -1\).

Bài 6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng:
a) \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\);

b) \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\);

c) \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.

Bài giải:

a) \({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\)

\(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\)

            \(= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} +  \ldots  + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).

b) Ta có

\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)

                  \(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... + \)

                  \(C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)

                     \( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\)

Tổng sau cùng chia hết cho \(10 000\) suy ra \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).

c) \({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \)

\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(= 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... - C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}}\)

\(+ {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)

\(\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\)=

\( 2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]\)

\(= 2\left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right)\)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.

Giaibaitap.me