Bài 1 trang 57 sgk đại số và giải tích 11

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:
a) \({\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b} \right)^5}\);                         

b) \({\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)^6}\)                       

c) \({\left( {x - {1 \over x}} \right)^{13}}\)

Bài giải:

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

\({(a + 2b)^5} = {a^5} + 5{a^4}.2b + 10{a^3}.{(2b)^2} + 10{a^2}{(2b)^3}\)

\(+ 5a.{(2b)^4} + {(2b)^5}\)\(={a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

\({\left( {a - \sqrt 2 } \right)^6} = {a^6} + 6{a^5}\left( { - \sqrt 2 } \right) + 15{a^4}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} \)

\(+ 20{a^3}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 15{a^{^2}}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + 6a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\)

\(+ {\left( { - \sqrt 2 } \right)^6}\)\(={a^6} - 6\sqrt 2 {a^5} + 30{a^4}- 40\sqrt 2 {a^3}\)

\(+ 60{a^2} - 24\sqrt 2 a + 8\)

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

\({\left( {x - {1 \over x}} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 - k}}{{\left( { - {1 \over x}} \right)}^k} = }\)

\(\sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{{( - 1)}^k}{x^{13 - 2k}}} \)

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ \(n\) khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Bài 2 trang 58 sgk đại số và giải tích 11

Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức: \({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}\).

Bài giải:

\({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6} = \sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} .{x^{6 - k}}{\left( {{2 \over {{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} {.2^k}.{x^{6 - 3k}}\)

Trong tổng này, số hạng \(\sum\limits_{k = 0}^{ 6} {C_6^k} {.2^k}.{x^{6 - 3k}}\) có số mũ của \(x\) bằng \(3\) khi và chỉ khi

\(\left\{\begin{matrix} 6 - 3k = 3& & \\ 0 \leq k \leq 6& & \end{matrix}\right.\)\(  ⇔ k = 1\).

Do đó hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức đã cho là:

\(2C_6^1 = 2.6 = 12\)

Bài 3 trang 58 sgk đại số và giải tích 11

Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1 - 3x)^n\) là \(90\). Tìm \(n\).

Bài giải:

Với số thực \(x ≠ 0 \) và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có:

\({(1 - 3x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3x)}^k} = } \)

\(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3)}^k}.{x^k}} \)

Suy ra hệ số của \(x^2\) trong khai triển này là \({(-3)^2}C_n^2\).Theo giả thiết, ta có:

\({(-3)^2}C_n^2 = 90 \Rightarrow C_n^2 = 10\).

Từ đó ta có:

\(\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 10\)\( ⇔ n(n - 1) = 20\).

\(⇔ n^2 – n – 20 = 0 ⇔ n = -4\) (loại) hoặc \(n = 5\) (thỏa mãn).

Giaibaitap.me