Bài 1.47 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép đối xứng trục \(d:x = 1\).

Giải:

Chỉ cần tìm ảnh của tâm đường tròn qua trục d.

Bài 1.48 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép quay \({Q_{\left( {0; - 90^\circ } \right)}}\) với O là gốc tọa độ.

Giải:

(C) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\), bán kính R = 3. Gọi I’; R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ảnh, ta có:

\( I' = {Q_{\left( {O, - {{90}^0}} \right)}}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x' = y = 2 \hfill \cr
y' = - x = - 1 \hfill \cr} \right.\)      và R’ = 3.

Vậy phương trình (C’) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\).

Bài 1.49 trang 41 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, ta dựng hình vuông BCDE. Kẻ DM vuông góc với AB, EN vuông góc với AC, và kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, EN, và AH đồng quy.

Giải:

Nếu ta “ kéo “ tam giác ABC  xuống theo phương AH sao cho B trùng E, C trùng D thì A trùng với A’. Khi đó MD, EN, AH là ba đường cao của tam giác A’ED nên chúng đồng quy.

Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {BE} \) ta có

\({T_{\overrightarrow {BE} }}:A \mapsto A'\)

\(B \mapsto E\)

\(C \mapsto D\)

Khi đó, ta có: \(A'E\parallel AB,A'D\parallel AC\).

Gọi \(I = DM \cap EN\)

Ta có: 

\(\left\{ \matrix{
AB \bot DM \hfill \cr
AB\parallel A'E \hfill \cr} \right. \Rightarrow DM \bot A'E\)

Tương tự, ta có: \(EN \bot A'D\).

Xét ∆A’ED, vì I là giao điểm của hai đường cao nên I là trực tâm của tam giác trên.

Suy ra \(A'I \bot E{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow AI \bot BC'\) hay \(I \in AH\)

Vậy AH, DM, EN đồng quy tại I.

Bài 1.50 trang 41 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hai đường tròn có cùng bán kính R cắt nhau tại hai điểm M, N. Đường trung trực của MN cắt hai đường tròn tại hai điểm A, Bvà nằm cùng phía đối với MN. Chứng minh rằng \(M{N^2} + A{B^2} = 4{R^2}\).

Giải:

\({T_{\overrightarrow {{O_2}{O_1}} }}:B \mapsto A\) 

\(M \mapsto E\) 

\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {{O_2}{O_1}} \) 

∆NME vuông tại M (vì \(ME\parallel AB\) và \(AB \bot MN\)), do đó NE là đường kính. Từ đó ta có:

\(\eqalign{
& N{E^2} = N{M^2} + M{E^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2{\rm{R}}} \right)^2} = M{N^2} + A{B^2} \cr
& \Leftrightarrow M{N^2} + A{B^2} = 4{{\rm{R}}^2} \cr} \)

Giaibaitap.me