Bài 1.19 trang 30 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\overrightarrow v  = \left( {2;0} \right)\) và điểm M(1; 1).

a)  Tìm tọa độ của điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)

b)  Tìm tọa độ của điểm M” là ảnh của điểm M qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) và phép đối xứng qua trục Oy.

Giải:

a) M(-1;1) đối xứng qua trục Oy ta được N(-1;1).

Gọi M'(x;y) là ảnh của N(-1;1) qua phép tịnh tiến theo vecto \(\vec v(2;0)\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 + 2 = 1 \hfill \cr
y = 1 + 0 = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow M' \equiv M(1;1)\)

b) Gọi P(x;y) là ảnh của \(M(1;1)\) qua phép tịnh tiến theo \(\vec v(2;0)\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 + 2 = 3 \hfill \cr
y = 1 + 0 = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow P(3;1)\)

P(3;1) đối xứng qua trục Oy ta được M"( - 3;1)

Bài 1.20 trang 30 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {3;1} \right)\) và đường thẳng d có phương trình \(2x - y = 0\). Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90° và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \).

Giải:

Gọi \(d_1\) là ảnh của d qua phép quay tâm 0 góc 90°. Vì d chứa tâm quay O nên \(d_1\) cũng chứa O. Ngoài ra \(d_1\) vuông góc với d nên \(d_1\) có phương trình \9x + 2y = 0\).

Gọi d' là ảnh của \(d_1\) qua phép tịnh tiến vectơ (\overrightarrow v \). Khi đó phương trình của d' có dạng \(x + 2y + C = 0\). Vì d' chứa \(O'\left( {3;1} \right)\) là ảnh của O qua phép tịnh tiến vectơ (\overrightarrow v \) nên \(3 + 2 + C = 0\) từ đó C = -5. Vậy phương trình của d' là \(x + 2y - 5 = 0\).

Bài 1.21 trang 30 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.

Giải:

Gọi \({Q_{\left( {I,\alpha } \right)}}\) là phép quay tâm I góc \(\alpha \) . Lấy đường thẳng d bất kì qua I. Gọi d' là ảnh của d qua phép quay tâm I góc \({\alpha  \over 2}\). Lấy điểm M bất kì và gọi \(M' = {Q_{\left( {I,\alpha } \right)}}\left( M \right)\). Gọi M" là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục d. \(M_1\) là ảnh của M" qua phép đối xứng qua trục d'. Gọi J là giao của MM" với d, H là giao của \(M''{M_1}\) với d'. Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:

\(\eqalign{
& \left( {IM,I{M_1}} \right) = \left( {IM,IM''} \right) + \left( {IM'',I{M_1}} \right) \cr
& = 2\left( {IJ,IM''} \right) + 2\left( {IM'',IH} \right) \cr
& = 2\left( {IJ,IH} \right) \cr
& = 2{\alpha \over 2} = a = \left( {IM,IM'} \right) \cr} \)

Từ đó suy ra \(M' \equiv {M_1}\). Như vậy M' có thể xem là ảnh của  sau khi thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục d và d'.

Bài 1.22 trang 30 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI.

a)  Xác định một phép dời hình biến A thành B và I thành E

b)  Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.

Giải:

Gọi F là phép đối xứng qua đường trung trực d của cạnh AB, G là phép đối xứng qua đường trung trực d' của cạnh IE. Khi đó F biến AI thành BI, G biến BI thành BE. Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình F và G sẽ biến AI thành BE.

Hơn nữa gọi J là giao của d và d', thì dễ thấy \(J{\rm{A}} = JB,JI = J{\rm{E}}\) và \(2\left( {JI,JB} \right) = \left( {JI,J{\rm{E}}} \right) = {45^0}\)

(vì \(JE\parallel IB\)). Do đó theo kết quả của bài 1.21, phép dời hình nói trên chính là phép quay tâm J góc 45°

Lưu ý. Có thể tìm được nhiều phép dời hình biến AI thành BE.

b) F biến các điểm A, B, C, D thành B, A, D, C; G biến các điểm B, A, D, C thành B, A', D', C'. Do đó ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình nói trên là hình vuông BA'D'C' đối xứng với hình vuông BADC qua d'

Giaibaitap.me