Bài 1 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Tìm số gia của hàm số \(f(x) =  x^3\), biết rằng :

a) \(x_0 = 1; ∆x = 1\)

b) \(x_0= 1; ∆x = -0,1\)

Lời Giải:

a) \(∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0) = f(2) - f(1) = 2^3-1^3= 7\).

b) \(∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0) = f(0,9) - f(1)\) = \( \left ( \frac{9}{10} \right )^{3} - 1^3=\) \( \frac{729}{1000} - 1 = -0,271\).

Bài 2 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

Tính \(∆y\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}}\) của các hàm số sau theo \(x\) và \(∆x\) :

a) \(y = 2x - 5\);                                           b) \(y = x^2- 1\);

c) \(y = 2x^3\);                                               d) \(y = {1 \over x}\).

Trả lời:

a) \(∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x+∆x) - 5 - (2x - 5) = 2∆x\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x} \over {\Delta x}} = 2\).

b) \(\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x) = {(x + \Delta x)^2} - 1 - ({x^2} - 1)\)

\(= 2x.\Delta x + {(\Delta x)^2} = \Delta x(2x + \Delta x)\)  và  \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{\Delta x\left( {2{\rm{x}} + \Delta x} \right)} \over {\Delta x}} = 2{\rm{x + }}\Delta {\rm{x}}\)

c) \(∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x +  ∆x)^3- 2x^3\)= \(6{x^2}\Delta x + 6x{(\Delta x)^2} + 2{(\Delta x)^3} = 2\Delta x.(3{x^2} + 3x\Delta x + {(\Delta x)^2})\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x\left[ {3{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}\Delta x +  \Delta {x^2}} \right]} \over {\Delta x}}\) \(= 6x^2+ 6x∆x + 2(∆x)^2\).

d) \(∆y = f(x+∆x) - f(x) =\)\(-{1 \over x} + {1 \over {x +\Delta x}} = {{x - \Delta x - x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}} =  - {{\Delta x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}}\)

\({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {1 \over {\left( {x + \Delta x} \right)x}}\)

Bài 3 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) \(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\);

b) \(y =  \frac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\);

c) \(y = \frac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\).

Giải:

a) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:

\(∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) - (1^2+ 1)\)

\(= 3∆x + (∆x)^2\)

\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 + ∆x\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3 + \Delta x) = 3\)

Vậy \(f'(1) = 3\).

b) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(∆y = f(2 + ∆x) - f(2) =  \frac{1}{2+\Delta x}  -  \frac{1}{2} = -  \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\);

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = -  \( \frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - {1 \over {2.(2 + \Delta x)}}} \right) =  - {1 \over 4}\)

Vậy \(f'(2) = -   \frac{1}{4}\).

c) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có:

\(∆y = f(∆x) - f(0) = \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}- ( -1) =  \frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\);

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \frac{2}{\Delta x-1}\) ; \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)  \( \frac{2}{\Delta x-1} = -2\).

Vậy \(f'(0) = -2\).

Bài 4 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số 

\(f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\)

không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).

Giải:

Ta có \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x) = \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} (x – 1)^2= 1\) và \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x) = \)\(\mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} (-x^2) = 0\).

vì \(\mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x) ≠ \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\) nên hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\), do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).

Ta có \(\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (2 + ∆x) = 2\).

Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).

Giaibaitap.me