Bài 1 trang 138 sgk giải tích 12

Thực hiện các phép chia sau:

a) \( \frac{2+i}{3-2i}\);          b) \( \frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\);           c) \( \frac{5i}{2-3i}\);           d) \( \frac{5-2i}{i}\).

Giải

a) \( \frac{2+i}{3-2i}\) \( =\frac{(2+i)(3+2i)}{13}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i\).

b) \( \frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\) \( =\frac{(1+i\sqrt{2})(2-i\sqrt{3})}{7}=\frac{2+\sqrt{6}}{7}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{7}i\)

c) \( \frac{5i}{2-3i}\) \( =\frac{5i(2+3i)}{13}=-\frac{15}{13}+\frac{10}{13}i\)

d) \( \frac{5-2i}{i}= (5 - 2i)(-i) = -2 - 5i\).

Bài 2 trang 138 sgk giải tích 12

Tìm nghịch đảo \( \frac{1}{z}\) của số phức \(z\), biết:

a) \(z = 1 + 2i\);                         b) \(z = \sqrt2 - 3i\);

c) \(z = i\);                                 d) \(z = 5 + i\sqrt3\).

Giải

 a) \( \frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i.\)

b) \( \frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2})^{2}+(-3)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i\) 

c) \( \frac{1}{i}=\frac{-i}{1}=-i\)

Bài 3 trang 138 sgk giải tích 12

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(2i(3 + i)(2 + 4i)\);                       b) \( \frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\)

c) \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\);                d) \(4 - 3i + \frac{5+4i}{3+6i}\).

Giải

a) \(2i(3 + i)(2 + 4i) = 2i(2 + 14i) = -28 + 4i\)

b) \( \frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\) \( =\frac{2i(-8i)}{-2+i}=\frac{16(-2-i)}{5}=-\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i\)

c) \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i\)

d) \( 4 - 3i + \frac{5+4i}{3+6i}\) = \(4 - 3i + \frac{(5+4i)(3-6i)}{45}\) = \(4 - 3i + \frac{39}{45}-\frac{18}{45}i\)

\(= (4 +  \frac{39}{45}\)) \(- (3 +  \frac{18}{45}\))i = \( \frac{219}{45}-\frac{153}{45}i\)   

Bài 4 trang 138 sgk giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) \((3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\);              

b) \((1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z\);

c) \( \frac{z}{4-3i} + (2 - 3i) = 5 - 2i\).

Giải

a) Ta có \((3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i \Leftrightarrow (3 - 2i)z = 7 + 3i - 4 - 5i\)

\(\Leftrightarrow z =  \frac{3-2i}{3-2i} \Leftrightarrow z = 1\). Vậy \(z = 1\).

b) Ta có \((1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z \Leftrightarrow (1 + 3i)z -(2 + i)z = (2 + 5i)\)

\(\Leftrightarrow (1 + 3i - 2 - i)z = 2 + 5i \Leftrightarrow (-1 + 2i)z = 2 + 5i\)

\(\Leftrightarrow z =   \frac{2 + 5i}{-1+2i}=\frac{(2+5i)(-1-2i)}{5}=\frac{-2-4i-5i-10i^{2}}{5}=\frac{8-9i}{5}=\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i\)

Vậy \(z =\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i\)

c) Ta có \( \frac{z}{4-3i} + (2 - 3i) = 5 - 2i \Leftrightarrow \)\( \frac{z}{4-3i}= 5 - 2i - 2 + 3i\)

          \(\Leftrightarrow z = (3 + i)(4 - 3i)\Leftrightarrow z = 12 + 3 + (-9 + 4)i \Leftrightarrow z = 15 -5i\)

Giaibaitap.me