Bài 1.55 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\). Chứng minh rằng: \(OM = {1 \over 2}AB\), trong đó O là trung điểm của AB.

Gợi ý làm bài

(h.1.68)

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MO}  =  > \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MO\)

\(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA}  =  > \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right| = AB\)

Vậy 2MO = AB hay \(OM = {1 \over 2}AB.\)

Chú ý: Tập hợp các điểm M có tính chất \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\) là đường tròn đường kính AB.

Bài 1.56 trang 45 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vec tơ \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC} \) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy xác định điểm D sao cho \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow v \).

Gợi ý làm bài

\(\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC}\)

\( = 2\overrightarrow {ME}  - 2\overrightarrow {MC} \) (E là trung điểm cạnh AB)

\( = 2(\overrightarrow {ME}  - \overrightarrow {MC} ) = 2\overrightarrow {EC} \)

Vậy \(\overrightarrow v \) không phụ thuộc vị trí của điểm M.

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow v  = 2\overrightarrow {CE} \) thì E là trung điểm của CD. Vậy ta xác định được điểm D.

Bài 1.57 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau:

\(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB} \)

a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm O.

b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.69)

a) $\(3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}  = 3(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} ) - (\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} )\)

\(= 3(\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OM} ) + (3\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} ) = 2\overrightarrow {OM} \)

b) Gọi S, Q và R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.

\(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC}  =  > \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {SC} \)

\(\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA}  =  > \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CQ} \)

\(\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB}  =  > \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow {RB}  = \overrightarrow {QS} \)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \cr
& = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \cr} \)

\(\overrightarrow { = (GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CQ}  + \overrightarrow {QS} )\)

\( = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0 \)

Vậy G là trọng tâm của tam giác MNP.

Giaibaitap.me